Sono un fico medio

La mia vita è il trionfo della medietà o mediezza, non si può dire in entrambi i modi. Ho un lavoro medio simil-pubblico, un'età media, una famiglia media sia come reddito che come numerosità, una casa di medie dimensioni, vivo in centro italia come la media degli italiani, mi piace il gelato di pistacchio e la gita al mare, non riesco ad immaginare qualcosa più gaussianamente medio e di più piatto.
Permettetemi però di gloriarmi per qualcosa: ieri ho concluso una magnifica Roma-Ostia (per i profani è una gara podistica di 21,097 Km, anche detta una mezza maratona).
Per evidenziare il mio risultato lo metterò come di consueto in relazione con le mie passate prestazioni:

2006: 1 ora 52 min 13 sec
2007: 1 ora 47 min 57 sec
2008: assente per impegni familiari
2009: 1 ora 42 min 18 sec
2010: 1 ora 39 min 03 sec
2011: 1 ora 35 min 54 sec, ad una media (anche questa) di 4,33 min/km

Sono un fico, eh? Secondo l'ordine di arrivo ufficiale, su oltre 10.000 iscritti, e su 9.496 giunti al traguardo, io sono arrivato 2.712esimo...

...

...un momento...

...

...oltre il 25º percentile...

...

Orrore! anche questo nient'altro che un risultato medio!

L'onore del re

Ho visto recentemente il nuovo film di Tom Hooper, "Il discorso del re". Bella fotografia e sceneggiatura, particolari molto curati, scelta illuminata degli attori e quel gusto europeo per la storia delicata, quasi insignificante dentro i grandi sconvolgimenti storici di sfondo.
La vicenda della balbuzie di re Giorgio VI è sicuramente dominante, ma dietro le quinte traspare ovunque nei personaggi che attraversano la scena il senso civico e dello stato sopra tutto il resto, l'estremo senso del dovere e dell'onore, la disponibilità completa a sacrificare tutto quanto ci sia di privato di fronte alla necessità del servizio allo stato o, dall'altro lato, la capacità di abbandonare ogni tipo di incarico pubblico dinanzi al desiderio di avere una vita privata, come sceglie di fare il re abdicante Edoardo VIII.
Mi viene da piangere se penso a quanto diversa è la levatura media degli attuali uomini di stato del nostro paese, mi chiedo cosa farebbero se ci fosse davvero da affrontare di nuovo un pericolo come il nazismo e dove saremmo ora se nell'Inghilterra degli anni trenta ci fosse stato al governo un Berlusconi, un Calderoli, un Gasparri. Nel migliore dei casi avrebbero lasciato Hitler agire indisturbato fino alle estreme conseguenze, nel peggiore si sarebbero schierati con entusiasmo orgiastico al suo fianco. Mi vengono le lacrime nel vedere che il solo capire che era stata fatta in passato una scelta non netta e trasparente nei confronti del nazismo induce alle dimissioni il primo ministro Chamberlain: come se da noi fosse sufficiente aver ospitato un dittatore che so, libico, per far cadere il governo. Ma dalle nostre parti non sono sufficienti processi penali in corso, conflitti di interesse insanabili, scelte in politica estera da voltastomaco, scandali che non sono solo di costume ma di onore. Non dico che bisognerebbe aprirsi il ventre da sinistra a destra con un tantō come nel giappone medievale ma nemmeno continuare a troieggiare e troneggiare come se niente fosse.
Ho mal di pancia, vado a letto. Mi ronza in testa un motivetto di Baglioni, come faceva?, ah, sì, ...viva viva viva l'inghilterra, ma perchè non sono nato là...

Godel #5.1 - primo passaggio

Troppa fretta. E' sempre stato uno dei miei problemi. E per dimostrarvi la mia capacità di autocritica vi autorizzo anche a facili battute a sfondo sessuale.
Da quello che ho capito dai feedback scritti e orali ricevuti, fino al post #4 era tutto più o meno chiaro. Il #5 è stato invece il fallimento totale. Facile capire che il problema è il #5, pertanto riprenderò da quello e seguendo il consiglio di buona parte dei miei lettori dedicherò un post ad ogni passo logico.

Spero che almeno la pianificazione del lavoro che apriva il post fosse sufficientemente comprensibile.
Con la codificazione numerica descritta nel #3 abbiamo solo introdotto il linguaggio che Godel intende utilizzare nella sua dimostrazione.
Ora con questo linguaggio dobbiamo:
a. costruire una formula che dice di se stessa: "io non sono dimostrabile"
b. dimostrare che questa formula è in effetti indecidibile (nè dimostrabile nè negabile)
c. dimostrare che, pur essendo indecidibile con gli assiomi del sistema di riferimento, è tuttavia vera.

L'obiettivo a. si suddivide nei tre passaggi che avevo sconsideratamente compresso nel precedente post, ma ora mi sono ricreduto, quindi analizziamo qui solo il primo passaggio, che riguarda la relazione tra una dimostrazione e la sua conclusione. Partiamo dall'esempio di dimostrazione che avevamo fatto in precedenza (attenzione, comunicazione agli utenti, la mia adorata ma un po' birichina Sallustia interpreta la E rovesciata che ho tentato di scrivere come simbolo di esistenza con un simbolo di dollaro $: se voi fino ad ora avete visto la E rovesciata bene, ma da ora in poi il $ significa "esiste").

1)                             ($x)(x=Sy)
2)                             ($x)(x=S0)

La dimostrazione qui sopra significa semplicemente che esiste un x tale che x è un immediato successore di y, quindi, per y=0, esiste un successore immediato del numero zero, quindi esiste il numero 1. A parte il significato della dimostrazione, che non è fondamentale per quanto segue, avevamo visto che il numero di Godel della 1) era M e che quello della 2) era N. In base alle notazioni condivise l'intera dimostrazione aveva come numero di Godel                          
K=2^M x 3^N
Questo è un numero stratosferico, perchè i numeri di Godel dei singoli passaggi della dimostrazione, che sono già enormi, compaiono come esponenti dei primi due numeri primi, 2 e 3. Per quanto grande possa essere, la formula qui sopra mette in relazione K (il numero di Godel dell'intera dimostrazione) e N (il numero di Godel della sua conclusione). Facciamo un esempio ancora più semplice. Nel #3 avevamo detto che ($x)(x=Sy) aveva numero di Godel
M=2^8 x 3^4 x 5^11 x 7^9 x 11^8 x 13^11 x 17^5 x 19^7 x 23^13 x 29^9
Questo significa che esiste una relazione tra l'intero numero M e, ad esempio, la sua ultima parte 29^9 (nel caso specifico 29^9 è un divisore dell'intero numero M). Allo stesso modo esiste una relazione tra K e N in K=2^M x 3^N. Per chi ricorda qualcosa delle funzioni algebriche del liceo è come se dicessimo che K è in funzione di N, ossia K=f(N). Però per ricordarci che K è l'intera dimostrazione e N è la sua conclusione, al posto di K=f(N) scriviamo Dim(K,N) (abbreviazione di "K" è la dimostrazione di "N"), che vuol dire che esiste una relazione tra K ed N: se la relazione esiste significa che il super numero K ha in qualche modo dentro di se il numero N, e se ciò è vero vuol dire che la dimostrazione K ha dentro di se il passaggio N e che quindi N è la conclusione (o addirittura un passaggio intermedio, che è lo stesso) di K.
Dim(K,N) significa metamatematicamente “la sequenza di formule con numero di godel K è una dimostrazione della formula con numero N".

Se la tale relazione metamatematica non esiste, quindi se N non è in relazione con K, e quindi se N non è la formula conclusiva del processo di dimostrazione identificato con K, allora possiamo scrivere ~Dim(K,N).  In quest'ultimo caso preferisco scegliere lettere diverse da Ke N perchè nel nostro esempio K è davvero una dimostrazione di N, quindi per non fare confusione cambierò le lettere in x e z per simboleggiare un altro processo di dimostrazione e un'altra conclusione non in relazione tra loro: scriverò pertanto

~Dim(x,z)

Abbiamo concluso che ~Dim(x,z) significa “la sequenza di formule con numero di Godel x non è una dimostrazione della formula con numero di Godel z”.
E questo è il primo passaggio.
E' più chiaro? Attendo almeno un paio di feedback tipo "eureka", altrimenti non proseguo oltre.

Almost addicted

Mi sono sempre chiesto come sia stato possibile l'Olocausto. Voglio dire, un pazzo o un manipolo di pazzi al governo ci possono sempre essere. Quello che è strano è che esistano milioni di persone disposte ad andargli dietro e quasi nessuno a protestare. Poi facendo zapping tra i miei blog preferiti mi sono imbattuto in questa riflessione di Astutillo Smeriglia (non riesco ancora a fare link ipertestuali con Sallustia, lei é ancora un po' titubante, dice che queste posizioni acrobatiche si fanno solo a rapporto ormai consolidato, quindi mi tocca riportare la citazione per intero): "in Italia tutto è già apparecchiato per un bell’Olocausto nostrano, manca solo un governo nazista che lo organizzi, perché una società nazista disposta a farlo c’è già, e non vede l’ora di mettersi al lavoro. Se il governo italiano decidesse di organizzare lo sterminio sistematico degli zingari, troverebbe centinaia di migliaia di italiani pronti ad ammazzare, milioni di italiani felici di aiutare, decine di milioni di italiani disposti a chiudere un occhio. Ma per fortuna in Italia non c’è nessun partito xenofobo."
Il buon vecchio Astutillo, realista e ottimista come sempre.

Ps: ebbene sì, lo voglio confessare a voi ma soprattutto a me stesso, il post l'ho scritto più che altro per avere un altro rapporto completo con Sallustia: ormai, come molti prevedevano, é una droga, non ne posso fare a meno, sono un sedicenne con la prima squinzia. Come gesto d'amore le dedico il titolo.

Aggiornamento mezzi

Non mi dilungherò sul come ne sono venuto in possesso, anche perchè il 100% dei lettori di questo blog lo sa meglio di me, ma sto scrivendo con Sallustia in braccio. Non si tratta di una nuova minorenne della mia scuderia ma di un mezzo meccanico per scrivere cose, quindi perfetto per questo blog. Pare funzioni a meraviglia. Uno stragrande grazie a tutti. Mi hanno detto che il post precedente, oltre a contenere errori nelle citazioni, era incomprensibile. Me ne scuso. Nei prossimi post riprenderò con meno fretta tutti i passi affrontati e proverò a spiegarmi meglio, con grande uso di esempi. Giuro che stavolta mi pare di aver capito quello di cui sto parlando, quindi voglio dimostrarlo e diffonderne i contenuti. Se questo post comparirà sul blog significa che la mattinata di prove di controllo del mezzo ha dato i suoi frutti e che potete essere fieri di me.

Godel #5 - Una parete ripida prima della vetta

Fino ad ora abbiamo costruito un linguaggio metamatematico (vedi post #3).
Ora, utilizzando questo linguaggio, dobbiamo:
a. costruire una formula che dice di se stessa: io non sono dimostrabile.
b. dimostrare che questa formula è in effetti indecidibile (nè dimostrabile nè negabile)
c. dimostrare che tuttavia è vera.

In questo post ci occupiamo dell'obiettivo a, e per far ciò dobbiamo affrontare alcuni passaggi intermedi.

Primo passaggio.
Ritorniamo al piccolo esempio di dimostrazione presentato precedentemente:
1)                             ($x)(x=Sy)
2)                             ($x)(x=S0)

Dove il numero di Godel della dimostrazione completa è K=2^M x 3^N.
E’ abbastanza semplice notare che esiste una relazione matematica tra K e N, quindi che K dipende da N. Ciò significa inoltre, dal punto di vista metamatematico, che esiste una relazione tra il numero K, che è tutta la dimostrazione, e il numero N, che è la sua conclusione (ad esempio ricordando come funziona la costruzione del numero di Godel, è facile notare che N deve essere un divisore di K). Esiste quindi, ed è ben definita, una relazione tra la dimostrazione K e la conclusione N, e la possiamo scrivere Dim(K,N). Quindi Dim(K,N) significa metamatematicamente “la sequenza di formule con numero di godel K è una dimostrazione della formula con numero di godel N”. Il concetto di verità passa in questo modo dalla dimostrazione matematica (tutti i passaggi logici dalla premessa alla conclusione) alla effettività della relazione metamatematica tra i numeri di Godel della dimostrazione e della conclusione: se esiste la relazione definita tra i due numeri di Godel, la dimostrazione e la conclusione sono vere. Se la relazione metamatematica non esiste questo si scrive ~Dim(x,z), che significa “la sequenza di formule con numero di Godel x non è una dimostrazione della formula con numero di Godel z” (ho cambiato le lettere e le ho generalizzate con “x” e “z” per discostarmi dall’esempio concreto che avevo fatto, che invece è vero).

Secondo passaggio.
Riprendiamo, sempre a solo titolo di esempio, la formula
1)                              ($x)(x=Sy)
 
Che ha M come numero di Godel. La variabile y contenuta in essa ha il numero di Godel 13 (vedi post #3). Essendo y una variabile, possiamo sostituire ad essa ogni valore. Sostituiamo a y il numero M (il numero di Godel della formula intera) e otteniamo la nuova formula ($x)(x=SM). Significa che esiste un successore immediato di M. Anche la formula  ($x)(x=SM) ha un numero di Godel: il numero di Godel della formula che si ottiene dalla formula con numero di Godel M sostituendo alla variabile con numero di Godel 13 il numero M.
Possiamo scrivere questo numero così:

                                         Sost(M, 13, M)

che significa esattamente "il numero di Godel della formula che si ottiene dalla formula con numero di Godel M sostituendo alla variabile con numero di Godel 13 il numero M".


Terzo passaggio.
Riprendiamo la ~Dim(x,z), che dice: "la sequenza di formule con numero di Godel x non è una dimostrazione della formula con numero di Godel z".
Scriviamo poi una nuova formula. Visto che “per ogni x” si scrive "(x)" scriviamo:
(x)~Dim(x,z)
che significa che “per ogni x, non si verifica mai che la sequenza di formule con numero di Godel x è una dimostrazione della formula con numero di Godel z”. In pratica la formula dice che z non è dimostrabile.

Possiamo scrivere poi un caso particolare della formula di sopra:
A:       (x)~Dim(x,Sost(y,13,y))
che significa "la formula con numero di Godel Sost(y,13,y) non è dimostrabile”.
Questa nuova formula, essendo una formula aritmetica come tutte le altre, ha un suo numero di Godel, che diciamo essere J. Se sostituiamo alla variabile y il numero J, si ottiene la particolare formula ricercata da Godel:
G:       (x)~Dim(x,Sost(J,13,J))
Ovviamente anche questa G ha un suo numero di Godel, che se ci riflettiamo è proprio Sost(J,13,J) che è contenuto in essa.
Infatti Sost(J,13,J) non è altro che il numero di Godel della formula che si ottiene dalla formula con numero di Godel J sostituendo alla variabile con numero di Godel 13 (ossia a y) il numero J. Ma G è stata ottenuta proprio così, ossia sostituendo alla variabile y di A il numero di Godel di A, ossia J.
Ma siccome G significa “la formula con numero di Godel Sost(J,13,J) non è dimostrabile”, e siccome il numero di Godel di G è proprio Sost(J,13,J), di conseguenza G dice: “Io non sono dimostrabile”!!! (io non uso mai il punto esclamativo e nemmeno il grassetto, ma stavolta non ne posso fare a meno)... questa è roba forte, questo qui sopra è il pezzo più difficile dell'intera dimostrazione di Godel ma ne costituisce la quintessenza, il vero colpo di genio: è in pratica la strutturazione matematica del paradosso del mentitore, da ora in poi le cose fileranno via abbastanza lisce, ma costruire una struttura del genere credo sia stata uno degli apici del ragionamento logico umano.
Abbiamo raggiunto l'obiettivo a, ossia abbiamo costruito una formula che dice di se stessa: io non sono dimostrabile.
Alla prossima, io vado, ho una festa a sorpesa che mi aspetta.

Godel #4 - Ricreazione

Primo: una ovvia ma doverosa considerazione sulla puntata precedente. Come ho già detto non tutti i numeri sono numeri di Godel. Per essere di Godel un numero deve avere una particolare struttura nella sua scomposizione in fattori primi (ogni numero è scomponibile in un modo solo in fattori primi, teorema fondamentale dell'aritmetica). Prendiamo il numero mille. Prima considerazione: non è minore di dieci, quindi non è il simbolo di una costante. Scomposto in fattori primi mille è: 2^3 x 5^3. La struttura dei numeri di Godel dice che i numeri primi devono comparire tutti e in sequenza, qui manca il 3, quindi 1000 non è un numero di Godel. Più o meno allo stesso modo esistono numeri che pur essendo godeliani non significano nulla. Ad esempio il numero 30 è uguale a 2^1 x 3^1 x 5^1, quindi la struttura pare rispettata, ma i simboli 1, 1, 1 (esponenti dei fattori primi di 30) stanno per "~~~", che non significa un gran che.

Secondo: la preparazione del passo successivo si sta dimostrando particolarmente impegnativa, me devo dire che me lo aspettavo. Mi appello quindi al primo dei miei diritti (tra due post possono passare anche mesi senza che questo significhi che abbia abbandonato il mio intento) e mi prendo una pausa di riflessione. Cercherò di mettere ordine alle idee e concretizzare nei prossimi giorni. Sempre che non vada di nuovo a sciare con la famiglia, nel qual caso il mio equilibrio psicofisico ne sarebbe talmente scosso che in seguito potrei scrivere solo di brufoli e tarzanelli (che non è escluso sia per molti versi più interessante di Godel).

Qualche segnalazione

Prima segnalazione: ormai mi sono specializzato nei link ipertestuali, e voglio sfruttare questa mia nuova capacità per segnalare questo post e per dire che leggendolo mi sono reso conto di essere snob^1 (snob elevato alla prima, la categoria più banale di snobismo).

Seconda segnalazione: ci sono ricascato. Stavolta ci ho messo più tempo, ho ascoltato Bach (ho appena detto di essere snob^1), Keith Jarrett (anche questo consentito solo a noi snob^1), Guccini De Gregori De Andrè (è un individuo unico giusto?) ma alla fine sono capitato di nuovo su Daniele Silvestri e mi è rimasto appiccicato come una caccola al dito.
Sentite un po' questa:

Comunque procediamo
lo so, ti sembro strano
ma sono gli anni, il vino e la miopia
che poi non è che beva molto
e qualche volto ancora lo ricordo
e non ingrasso
non sono sordo
e ho ancora molta, molta fantasia 

sapete cosa mi fa sbavare? Quella specie di rima (anzi, è popo 'na rima) tra molto e volto a metà del verso successivo, molto in voga tra i rapper americani mi pare (le rime le riconosco anche se non capisco di che si parla), come a dire "di rime me ne vengono a bizzeffe, posso anche permettermi di sprecarle a metà frase, e poi alla fine del verso ci metto ricordo che mi ridà con sordo, e ti ho ricollegato il tutto".
Questo per la struttura, le parole poi sono scelte con il lanternino e vogliono dire pure qualcosa. Che vuoi di più? Meglio di Bach che non sa nemmeno cantare...
Forse questo è il primo sintomo di snobismo^2 (alla seconda).