ZenTwo, ovvero il problema degli infiniti

Una volta imparato a contare possiamo cominciare: 1, 2, 3... e andare avanti aggiungendo ogni volta una unitá in più. Viene perlomeno il sospetto che così facendo si può continuare per parecchio, basta aggiungere sempre uno, è un'applicazione del principio di induzione matematica (ricordate il quinto assioma di Peano?), quello che dice che, se una proprietá è vera per il numero 1, se è ammessa per il numero n e se dimostriamo che è vera per n+1, essa è vera per tutti i numeri. Quindi se 1 è un numero naturale, se n è un numero naturale e se lo è anche n+1, allora basta aggiungere sempre 1 a n e quello che si ottiene risulterà essere sempre un numero naturale. E così via all'infinito. Infinito? E sarebbe? Quanto è infinito? Ad esempio, siamo d'accordo che i numeri interi siano infiniti, ma un sottoinsieme dei numeri naturali, ad esempio, i numeri pari, quanti sono? Metá dei numeri naturali forse? Ma metà di infinito è comunque parecchio. Possiamo provare a contarli, 'sti numeri pari, utilizzando il sistema che abbiamo imparato in ZenOne, e mettere in corrispondenza biunivoca i numeri naturali con quelli pari: 1 con 2, 2 con 4, 3 con 6, ogni numero con il suo doppio, e scoprire quindi che è possibile farlo, e non avanza niente, non c'è nessun bimbo che rimane senza seggiola, quindi i numeri interi e quelli pari sono della stessa quantitá, sono infiniti della stessa classe, quelli bravi, da Cantor in poi, dicono "aleph-zero" per significare una categoria di infinito comparabile a quella dei numeri naturali, quindi numerabile. La stessa cosa avviene con altri sottoinsiemi dei numeri naturali, per esempio i cubi, 1, 8, 27, 64 ecc., sembra che crescano in maniera veloce, anzi lo fanno, con il cubo di 10 siamo giá arrivati a mille, quindi sembrano di meno di tutti i numeri, eppure anche questi si possono mettere in corrispondenza con i numeri naturali, 1 con 1, 2 con 8, 3 con 27, ..., 10 con 1000, 25 con 15625, anche questi sono uguali in cardinalità, anche questi sono aleph-zero. Quindi la cosa strana con un insieme infinito come i numeri naturali è che abbiamo a che fare con un insieme che non è più grande di alcuni suoi sottoinsiemi.
Se usciamo dall'insieme dei naturali e entriamo nei razionali (le frazioni) di fenomeni interessanti ce ne sono altri. Se suddividiamo lo spazio tra due numeri, mettiamo tra 0 e 1, in pezzetti piccolissimi, ci accorgiamo che possiamo averne infiniti di questi pezzettini, 1/2, 1/3, 5/6, 2/45419, e che fra i due pezzettini più vicini che riusciamo ad immaginare ce ne sono altri infiniti. Ma anche i numeri razionali tra 0 e 1 (come del resto tutti i razionali) si possono mettere in relazione con i naturali, anche quelli sono aleph-zero. Ci sono alcuni infiniti che sono più grandi di aleph-zero (di aleph ce ne sono parecchi, zero, uno, due, infiniti aleph) tipo gli irrazionali, ma al momento 'stica.
E qui arriva Zenone con il suo paradosso di Achille e la tartaruga. Il paradosso, come lo ha raccontato Borges, prevede che Achille, simbolo di rapidità, debba raggiungere la tartaruga, simbolo di lentezza. Achille corre dieci volte più svelto della tartaruga e le concede dieci metri di vantaggio. Achille corre quei dieci metri e la tartaruga nel frattempo percorre un metro; Achille percorre quel metro, la tartaruga percorre un decimetro; Achille percorre quel decimetro, la tartaruga percorre un centimetro; Achille percorre quel centimetro, la tartaruga percorre un millimetro; Achille percorre quel millimetro, la tartaruga percorre un decimo di millimetro, e così via all’infinito; di modo che Achille può correre per sempre senza raggiungerla. Di solito il paradosso viene spiegato e risolto con il calcolo infinitesimale, mostrando che ci sono serie di somme che, seppur infinite, sono convergenti; ma possiamo provare a spiegarlo anche con il metodo che abbiamo mostrato prima. Abbiamo visto che ci sono tanti punti in un millimetro quanti in un kilometro, ce ne sono esattamente aleph-zero, e che quindi si possono mettere in relazione tra loro, senza che ciò significhi che le distanze di cui si tratta debbano essere le stesse... pensateci con calma seduti al cesso...
Non vi pare che questo risolva il paradosso?

Per qualche virgola in più

Proprio oggi cercavo su un giornale on line le ultime notizie sulla guerra in Libia e la mia attenzione si é fermata su un trafiletto sulla camorra a Ponza che diceva testualmente "nel mirino, un parente di Antonio Bardellino, vecchio boss dei Casalesi": gulp!.
Ieri sera il mio occhio scrutava a mezz'asta un vecchio libro Bompiani e si é posato disgustato su una frase che suonava strana "passa il suo tempo, componendo incredibili e incomprensibili teorie" : supergulp!
Per lavoro ricevo ogni giorno almeno un paio di mail in cui la punteggiatura e soprattutto l'uso della virgola non é solo spregiudicato ma criminale: "l'incontro, si terrà lunedi alle 10,30". Ed è solo l'ultima che ricordo.
Non voglio fare come Nanni Moretti e prendere a schiaffi chi separa con una virgola il soggetto dal verbo, un sostantivo dal suo aggettivo, un predicato da un complemento oggetto, ma cacchio, stiamo attenti. L'uso sbagliato della virgola denota svogliatezza intellettuale, grettezza mentale e colon irritabile. È da combattere con tutte le forze. Raccolgo fondi per costituire un gruppo d'attacco e di protesta contro la virgola ballerina buttata lì a casaccio. Contattatemi per l'IBAN.

Declino rimandato (per ora)

Ieri come i miei cari amici sanno era il giorno della maratona di Roma, la regina di tutte le gare. Non che io abbia fatto molto per pubblicizzarlo... Devo dire la verità, stavolta mi aspettavo di essere al bivio e che quest'anno cominciasse il declino, rappresentato nello sport da risultati peggiori rispetto ai personal bests.
Saranno gli anni che passano e che in base al sistema decimale adottato nel mondo occidentale (ma non ho notizie di popoli orientali che contino in esadecimele) hanno quest'anno una struttura regolare (J x 10^1 + 0 x 10^0 dove J è un numero intero), sarà che l'entusiasmo e la motivazione stavolta non erano al massimo, anzi...
Ma anche stavolta ce l'ho fatta.
I dati parlano chiaro:
2007: 4 ore 19 min 26 sec
2008: 4 ore 10 min 51 sec
2009: 3 ore 50 min 24 sec
2010: 3 ore 43 min 21 sec
2011: 3 ore 38 min 26 sec
Credo comunque di essere arrivato al limite sulla maratona, l'anno prossimo sarà un problema... o invento uno speciale razzo da culo (con la erre) o davvero non vedo molti margini di miglioramento. Per qualche giorno non voglio sentir parlare di corsa: camminerò, come PdB.

La marcia su Roma

A chiunque attratto dalla bella giornata domani abbia intenzione di andare a fare una passeggiatina tranquilla in centro, magari visitare uno dei monumenti che la nostra città offre e chissà fermarsi anche a pranzo per godersi fino in fondo il clima lieve e i primi profumi della primavera dico: cambiate programma, poveri iillusi! Domani la città sarà percorsa da omini in calzoncini, sovraccarica dei colorati della domenica, dei maratoneti che da ogni angolo del pianeta sono giunti nella cittá eterna per occuparla e possederla, domani sarà la vera marcia su Roma, e l'unico modo per voi pedoni e automobilisti per sopravvivere sarà partecipare al rito nell'unico modo che vi rimane: restare sul bordo della strada ad incitare, applaudire, tifare, oppure se non siete sufficientemente temerari rimanete pure a casa, potrebbe anche essere pericoloso, potreste rimanere incastrati nel traffico, i podisti potrebbero travolgervi, potreste rimanere abbagliati dai colori e dall'allegria, potreste sentire i commenti salaci e per nulla politically correct che serpeggiano tra i corridori, potreste innamorarvi della gazzella con la coda di cavallo che vi è appena sfrecciata davanti e mollare moglie e figli sul ciglio della strada mettendovi a correre all'impazzata con barbour e mocassini e stramazzare al suolo dopo i primi duecento metri, massì forse vi coviene rimanerea casa, sarete più al sicuro: domani la città sarà nostra!!!

Godel #6 - Un raffinato mentitore

Ripassato il paradosso del mentitore? No? Cinque meno meno e prurito ai genitali vi colga. Ve lo rispolvero io. La prima versione si dice risalga ad Epimenide, il cretese che diceva che tutti i cretesi mentono. Una versione moderna e semplificata al massimo potrebbe essere un tizio che dice: "sto mentendo". Ebbene, il paradosso sta nel fatto che se dice la verità significa che sta mentendo, se sta mentendo dice la verità.
Con la formula G di Godel succede più o meno lo stesso. La G dice "non sono dimostrabile". Se quindi G fosse dimostrabile, allora la negazione di G sarebbe dimostrabile e direbbe "non è vero che non sono dimostrabile" e quindi sarebbe negata la G. Se invece la negazione di G fosse dimostrabile, allora G sarebbe dimostrabile, e direbbe "non sono dimostrabile". Se G allora ~G, se ~G allora G.
Quindi su G non si può dire nulla, nè che è dimostrabile nè che è dimostrabile la sua negazione. La proposizione G di Godel è indecidibile.
Solita regola per ottenere l'eureka: rileggere con calma.

Certo che se la questione si fermasse qui la dimostrazione di Godel con la quale ho ammorbato la mia ormai sconfinata platea per giorni sarebbe un po' deludente... Solo una nuova versione del paradosso del mentitore, non ce lo potevi dire prima? Ci saremmo risparmiati vari ematomi alle gonadi e avremmo avuto più tempo per scaccolarci.
Ma qui c'è qualcosa in più rispetto al classico paradosso del mentitore. La G di Godel è una proposizione vera.
È un teorema matematico vero che non può essere nè dimostrato nè negato con gli assiomi della matematica. Una verità indecidibile.I tre passaggi che dimostrano che la G è vera sono in fin dei conti semplici:
- la proposizione metamatematica "la formula G non è dimostrabile" abbiamo dimostrato che è vera (la abbiamo costruita proprio così)
- la proposizione G è rappresentata dalla stessa G, esattamente come la frase di Quine: G dice proprio questo: "la formula G non è dimostrabile" - ad una proposizione metamatematica vera corrisponde una formula matematica vera.
Questo ultimo punto lo abbiamo presupposto (ormai parlo al plurale come il papa, fermatemi) sin dall'inizio: la metamatematica di Godel e la sua numerazione non sono altro che una simbolizzazione della matematica, non abbiamo fatto altro che abbinare una numerazione alle espressioni matematiche che abbiamo costruito man mano, e abbiamo costruito sempre delle proposizioni vere.
Siamo partiti dicendo  ~Dim(x,z)  ossia abbiamo scritto un qualcosa non dimostrabile, ne esistono a bizzeffe di proposizioni non dimostrabili, che so,  ~($x)(Sx=0)  che sarebbe "non esiste un numero naturale minore di zero", e lo stesso è stato per tutti i passaggi seguenti, tipo  Sost(M, 13, M), che è solo un modo per definire un numero: ripercorrete tutto passo per passo e non troverete nulla che non sia semplicemente un modo diverso di scrivere delle cose vere.
Non abbiamo fatto altro che esprimere teoremi matematici veri, corretti. La numerazione di Godel è stata solo una simbolizzazione di questa matematica vera, quindi è anche essa vera. Abbiamo sempre sostenuto (o comunque se non l'abbiamo fatto lo facciamo ora) che la simbolizzazione della matematica nulla cambia del suo significato intrinseco, se è vero il concetto simboleggiato è vera anche la sua versione trasformata mediante numerazione di Godel.
Questa è la grande innovazione rispetto ad un semplice paradosso logico.Non si tratta solo di una frase indecidibile, ma di una frase indecidibile e vera.

Ricapitolando.
Abbiamo dimostrato che con gli assiomi della matematica è sempre possibile costruire una proposizione indecidibile all'interno della struttura assiomatica ma vera.
Questo significa che la matematica non riuscirà mai a dimostrare alcune particolari verità, quindi che la matematica è incompleta.
Non servirebbe a nulla ampliare gli assiomi per includere anche la G, perchè a questo punto con tali assiomi si potrebbe comunque con lo stesso meccanismo presentato costruire una G(1) che è vera ma indecidibile all'interno del nuovo sistema.

Come abbiamo fatto allora a dimostrare la verità della G se non con la matematica? La particolarità è che la verità della frase non è stabilita con strumenti matematici, con un sistema assiomatico che anzi viene fatto fallire, ma tramite un approccio metamatematico.
E' per questo che alcuni hanno portato ad esempio il teorema di incompletezza per asserire la superiorità dell'intelligenza umana rispetto ai meccanismi automatici della matematica assiomatica e per negare la possibilita dell'intelligenza artificiale. Dicono: se l'uomo riesce a costruire una G vera non utilizzando gli assiomi (i meccanismi base di qualsiasi funzionamento meccanizzabile) ma trascendendo da essi, allora la mente umana è qualcosa di più rispetto a semplici meccanismi automatici.
Io non sono d'accordo, ma questa è una storia che forse approfondiremo in seguito.Notte.

PS: a proposito di frasi ricorsive ho trovato questa cosa di Emo Philips: "Non sono un fatalista; ma anche se lo fossi, che cosa potrei farci?".
Non capisco se è la frase ad essere ricorsiva (ma no, non lo è) o il comportamento che c'è descritto, voi forse potete aiutarmi. O forse non c'entra proprio niente, ma mi piaceva citarla.

Rinotte.

ZenOne, ovvero Lo Zen e l'Arte di Contare

Innanzitutto una breve nota sul titolo. Lo Zen è stato abbinato ad una miriade di arti, dalla manutenzione della motocicletta, al tiro con l'arco, allo scopare. Non mi pare sia ancora stato abbinato all'arte di contare. Quindi ZenOne sta per Zen e One, uno in inglese. Inoltre Zenone era un filosofo greco del V sec. AC famoso per i suoi paradossi sull'impossibilità del moto e che in qualche modo c'entra parecchio con il contare e con gli infiniti numerici.
Mi pareva quindi un bel titolo, anche perchè lascia spazio ad uno ZenTwo.
Comunque.
Fatto sta che vorrei provare a spiegare in questo One come si conta. Credete forse voi tacchini di conoscere già tutti i segreti di questa esoterica arte? Beh, forse lo fate per abitudine, ma non avete mai riflettuto su cosa significhi davvero contare. O forse lo avete fatto e quindi sarà un utile condivisione.
Contare è innanzitutto mettere a confronto due classi di oggetti. La maniera più elementare di farlo è confrontare due insiemi per vedere quale è più grande dell'altro. E questo si può fare anche senza saper contare, basta mettere in relazione biunivoca (uno ad uno) gli elementi delle due classi e vedere in quale classe alcuni elementi rimangono senza accoppiamento: questa sarà la più numerosa. Un po' come il gioco dei bimbi che devono sedersi sulle sedie, e solo uno rimane in piedi, succede proprio perche i bimbi sono piu numerosi delle sedie... arguto, eh? Probabilmente il confronto di questo tipo tra due classi ha costituito la fase embrionale del contare.
Il passo seguente è stato scovare un insieme sempre a portata di mano. Mano? Sìììì, le dita di una mano sono perfette per contare, si mettono in corrispondenza biunivoca gli oggetti con le dita, semplice ed immediato.
Ma il colpo di genio è stato creare (o scoprire?) un insieme sempre a disposizione e che soprattutto vale per tutte le numerosità: l'insieme dei numeri naturali.
Rispetto alle dita si è perso un po' in concretezza ma si è guadagnato in efficacia: l'insieme dei naturali è enorme, potenzialmente infinito, ma tuttavia estremamente portatile, più delle dita, vale anche per i monchi e chi mai potrebbe dimenticarlo a casa prima di uscire?

Contare divenne quindi mettere in corrispondenza biunivoca gli oggetti di una classe con l'insieme dei numeri naturali. La cosa semimagica e meravigliosa è che l'insieme dei naturali è costruito in modo che se si mette in corrispondenza con gli oggetti da contare in modo ordinato, l'ultimo elemento dei numeri richiesto per completare l'accoppiamento denota quanti sono gli elementi. Forse vi sembra una cosa da poco ma credo sia una delle 4 o 5 più grosse invenzioni della storia, subito dopo il Vape.
Il  numero si può proprio definire cosi, come conseguenza di questo mirabile meccanismo: il numero cardinale della classe A (quindi la sua numerosità) è il simbolo che rappresenta l'insieme di tutte le classi che possono essere messe in corrispondenza biunivoca con A. Quindi chiedere quante mele ci sono in un cesto è come chiedere qual'è la cardinalità di tutte le classi i cui elementi possono essere messi in corrispondenza uno ad uno con le mele del cesto?
Nei prossimi post vedremo anche cosa c'entra Zenone con tutto questo.

Godel #5.3 - terzo passaggio con aritmoquinazione

Passaggio difficilino perchè si intrecciano le cose dette nei primi due passaggi, quindi come prima cosa ci occorre un breve ripasso.

Primo passaggio:  (x)~Dim(x,z)    significa che “per ogni x, non si verifica mai che la sequenza di formule con numero di Godel x è una dimostrazione della formula con numero di Godel z” o, più semplicemente, "z non è dimostrabile".

Secondo passaggio:  Sost(M, 13, M)    rappresenta "il numero di Godel della formula che si ottiene dalla formula con numero di Godel M sostituendo alla variabile con numero di Godel 13 il numero M".
Nota per PdB: si tratta di ciò che Hofstadter nel suo GEB chiama aritmoquinazione, ossia il sostituire ad una variabile di un enunciato l'enunciato stesso, come nel paradosso di Quine ("produce una falsità se preceduto dalla propria citazione" produce una falsità se preceduto dalla propria citazione).

Possiamo scrivere ora un caso particolare della formula del primo passaggio

A:       (x)~Dim(x,Sost(y,13,y))

che significa "la formula con numero di Godel Sost(y,13,y) non è dimostrabile”.
Questa nuova formula, essendo una formula aritmetica come tutte le altre, ha un suo numero di Godel, che chiamiamo J. Se sostituiamo alla variabile y il numero J, si ottiene la particolare formula ricercata da Godel:

G:       (x)~Dim(x,Sost(J,13,J))

Anche la G ha un suo numero di Godel, il caso particolare è che è proprio Sost(J,13,J) che è contenuto in essa.
Infatti come abbiamo detto nel secondo passaggio Sost(J,13,J) non è altro che il numero di Godel della formula che si ottiene dalla formula con numero di Godel J sostituendo alla variabile con numero di Godel 13 (ossia a y) il numero J. Ma G è stata ottenuta proprio così, ossia sostituendo alla variabile y di A il numero di Godel di A, ossia J.
Dato che G significa “la formula con numero di Godel Sost(J,13,J) non è dimostrabile”, e siccome il numero di Godel di G è proprio Sost(J,13,J), di conseguenza G dice: “Io non sono dimostrabile”.
(Anche in questo caso si consiglia di leggere quanto sopra molto lentamente, e tutto filerà liscio: l'ho provato sulla mia pelle).
Abbiamo costruito una formula che dice di se stessa "io non sono dimostrabile".
La prossima volta capiremo meglio la potenza di una tale costruzione.
Compiti per casa: ripassare il paradosso del mentitore.
Ve sallustio.

Una delle canzoni più belle del millennio...

sottotitolo: ...o comunque a me piace parecchio.

Ormai ho preso l'abbrivio, sto scrivendo ad un ritmo forsennato e non riesco a fermarmi. Oggi tocca al mio lato DJ e al caro vecchio John Lennon, in occasione del trentennale del suo assassinio.
La canzone è God, dal 33 giri The Plastic Ono Band.

La musica fa così:
na-na-na-nana...

Le parole invece fanno così:
God is a concept,
By which we measure,
Our pain,
I'll say it again,
God is a concept,
By which we measure,
Our pain,
I don't believe in magic,
I don't believe in I-ching,
I don't believe in bible,
I don't believe in tarot,
I don't believe in Hitler,
I don't believe in Jesus,
I don't believe in Kennedy,
I don't believe in Buddha,
I don't believe in mantra,
I don't believe in Gita,
I don't believe in yoga,
I don't believe in kings,
I don't believe in Elvis,
I don't believe in Zimmerman,
I don't believe in Beatles,
I just believe in me,
Yoko and me,
And that's reality.
The dream is over,
What can I say?
The dream is over,
Yesterday,
I was the dreamweaver,
But now I'm reborn,
I was the walrus,
But now I'm John,
And so dear friends,
You'll just have to carry on,
The dream is over.

Volevo solo condividere la canzone con voi, cari i miei tacchini, se la conoscete; se non la conoscete vi esorto ad uscire ora immediatamente anche se siete in mutande per acquistare il 33 giri, che è interamente e semplicemente meraviglioso; se invece vi siete già accorti di vivere nel terzo millennio vi esorto a collegarvi su itunes e a comprarvelo, se invece siete pure tiratini sapete già come fare per avere il tutto aggratis, l'importante è che conosciate e facciate conoscere questi capolavori. Questo è il compitino che vi assegno per il fine settimana.

Godel #5.2 - secondo passaggio

Una doverosa precisazione, non tanto per i lettori abituali che mi conoscono bene, quanto per quelli occasionali che dovessero imbattersi in questi obbrobri metamatematici per puro caso e forse con eccessiva fiducia: io di matematica non capisco una mazza.
Non l'ho studiata in maniera approfondita nè la pratico per professione, ricordo a malapena quella fatta al liceo o in uno o due esami all'università. Forse è proprio per questo che sono affascinato dalle spiegazioni chiare ma forse semplicistiche della letteratura divulgativa che mi diletto a leggere negli ultimi tempi.
Pertanto nei post di argomento matematico e scientifico troverete nel migliore dei casi solo compendi spero comprensibili di quello che leggo. Sono ovviamente disponibilissimo a dare i titoli delle fonti a chiunque sia interessato.

Ora andiamo avanti con il secondo passaggio necessario alla dimostrazione del teorema di incompletezza di Godel.
Devo dire la verità, questi passaggi intermedi sono un po' noiosi, ma sono necessari per preparare l'apoteosi finale (come la costruzione complessa di un'azione, con pallosi passaggi a centrocampo, necessari però per poi finalizzare in un gol acrobatico... Che ve ne pare come metafora cari lettori calciofili?).

Riprendiamo, sempre a titolo di esempio, la formula

1)                              ($x)(x=Sy)

Che ha M come numero di Godel e che significa "esiste un successore immediato di y".
La variabile y contenuta in essa ha il numero di Godel 13 (vedi post #3). Essendo y una variabile, possiamo sostituire ad essa ogni valore, le variabili servono a questo. Sostituiamo a y il numero M (il numero di Godel della formula intera) e otteniamo la nuova formula ($x)(x=SM). Significa che esiste un successore immediato di M.
Anche la formula  ($x)(x=SM) ha un numero di Godel, che sarà diverso da M. Questo sarà il numero di Godel della formula che si ottiene dalla formula con numero di Godel M sostituendo alla variabile con numero di Godel 13 il numero M. Possiamo, per convenzione, scrivere questo numero così:

                                Sost(M, 13, M)

che significa nient'altro che "il numero di Godel della formula che si ottiene dalla formula con numero di Godel M sostituendo alla variabile con numero di Godel 13 il numero M".
Se non avete capito il concetto avete letto troppo di fretta, leggete con calma e ce la farete, come ho fatto io.
...
Tranquilli, io aspetto....
...
Fatto?
ok, ora tenetelo bene a mente.
Alla prossima.