Una questione di unità di misura

Considero la platea del Taccuino (il solito paio di lettori al lordo di mia cugina) sufficientemente raffinata per avere quanto meno un'idea grossolana delle implicazioni della teoria einsteiniana della Relatività Ristretta sulla misura del tempo e dei "paradossi temporali" (1) ad essa connessi. Spargerò comunque dei link qua e là per chi volesse approfondire (2).
La teoria della RR ha introdotto, tra l'altro, il concetto di spaziotempo: l'universo avrebbe una struttura quadridimensionale, con tre dimensioni spaziali e una temporale. Si stabilisce un'equivalenza tra spazio e tempo a livello fondamentale (ognuna delle quattro dimensioni è una coordinata spaziotemporale di un evento), con alcune conseguenze dirette che paiono a prima vista quantomeno strambe.
Tutti prima o poi si imbattono in una qualche versione del paradosso dei gemelli: presi due gemelli, quello che viaggia nello spazio per lungo tempo a velocità sufficientemente elevate, al suo ritorno si ritroverebbe molto più giovane dell'altro, rimasto ad attenderlo sulla Terra; il tempo per il viaggiatore spaziale scorrerebbe quindi in maniera rallentata rispetto agli standard terrestri.

Piuttosto bizzarro, non trovate?

Durante una delle mie solite sgambate mattutine che spaccio per allenamenti, ascoltando un podcast (che trovate qui), mi sono imbattuto in quello che mi è parso un succoso esempio per capire le grandezze in gioco: qualche anno fa un giornalista chiese all'astrofisico Richard Gott: "mi scusi, signore con la giacca turchese, se è vero che il tempo è in qualche modo assimilabile allo spazio, e se è vero che viaggiamo così facilmente attraverso lo spazio, come mai non riusciamo a viaggiare allo stesso modo attraverso il tempo?". La risposta del bizzarro scienziato fu fulminante quanto sibillina: "il problema è che viaggiamo troppo poco anche attraverso lo spazio". 

Proviamo a capirci qualcosa, e diamo qualche dato su quelli che riteniamo i nostri mirabolanti viaggi spaziali: ad oggi la più lunga distanza che un uomo abbia mai coperto credo sia il viaggio verso la Luna. Circa 384.400 Km, se ci ostiniamo ad utilizzare questa unità di misura così strettamente legata al nostro limitato punto di vista terrestre. Se preferissimo invece un'unità di misura più "assoluta", indipendente dal sistema di riferimento utilizzato, le cose cambierebbero. In fisica si utilizza in questi casi una costante che fa al caso nostro: la velocità della luce nel vuoto, pari a circa 300.000 Km/sec. La distanza della Luna, misurata in questi termini, diventa di appena 1,3 secondi luce. Capirete, con tutta la nostra tecnologia (la Ferrari, il Concorde, il Freccia Rossa, lo Shuttle) al massimo siamo riusciti a portare in giro esseri umani per distanze nell'ordine del secondo luce. 

Passiamo ai nostri viaggi temporali: Sergei Krikalev è l'uomo che attualmente detiene il record di permanenza in orbita, con oltre 800 giorni. E' stato calcolato (anche dal sottoscritto, vedi successiva nota 3) che, cumulando le distanze percorse nelle sue missioni a velocità orbitali (la stazione spaziale sulla quale ha trascorso il suo tempo sfreccia a circa 7,7 Km al secondo, oppure 27.500 Km all'ora se preferite lo standard automobilistico), e considerata la storia dei gemelli e la teoria einsteiniana, abbia viaggiato nel futuro per circa 0,02 secondi totali (3).


Ricapitolando: 1,3 secondi del primo esempio e 0,02 secondi del secondo esempio. Si tratta di numeri del tutto comparabili, non trovate? Nemmeno due ordini di grandezza di differenza. Viaggiamo già attraverso il tempo in maniera più o meno coerente con quanto facciamo attraverso lo spazio. Il problema è che viaggiamo troppo poco attraverso lo spazio. Tutto qua.
La coerenza delle distanze nello spaziotempo diventa, se considerata da questa angolazione, una mera questione di unità di misura: basta adottare quella giusta, una unità assoluta, standardizzabile in maniera indipendente dalla nostra dimensione umana, che tutto diventa più coerente, più misurabile, e anche lo spaziotempo ai miei occhi sembra più comprensibile.
Sicuramente sto semplificando, forse mi sfugge qualcosa, ma questo livello di complessità è il massimo che un pennuto come il sottoscritto possa permettersi.

Note

(1) Le virgolette sono d'obbligo: non si tratta di veri e propri paradossi ma di esempi teorici con conseguenze lontane dal senso comune anche se del tutto coerenti con la teoria.
(2) Non si senta offeso nessun fisico relativistico che per malaugurato caso si imbattesse in queste umili pagine.
(3) (aggiunta in un momento successivo alla prima pubblicazione del post.) Su richiesta di un solerte lettore ho approfondito la questione del calcolo dello spostamento nel tempo di un sistema “viaggiante” (nel nostro esempio, l’astronauta) rispetto a un altro “fermo “ di riferimento (un uomo sulla Terra). Con mia meraviglia ho scoperto che il calcolo è piuttosto semplice, a conferma dell’estrema eleganza della teoria. Quindi è con grande piacere che vi propongo la RICETTA PER CALCOLARE QUANTO SI VIAGGIA NEL TEMPO: si prende il tempo trascorso sul sistema viaggiante e lo si divide per la radice quadrata di uno meno il rapporto tra la velocità del sistema viaggiante al quadrato diviso la velocità della luce al quadrato. Quello che ottenete è il tempo trascorso per il sistema “fermo”. A questo punto sottraete il tempo del sistema viaggiante e il gioco è fatto. Ho fatto la prova con l’esempio dell’astronauta e dei 0,02 secondi, mi torna alla perfezione. Ho pure urlato Eureka, spero mia moglie non abbia sentito. 

Infinito (number 1)






I bambini non hanno un concetto chiaro di infinito. Per loro è facile confondere l'inesauribile con il tantissimo, l'indefinito con l'enorme, l'illimitato con i miliardi di miliardi. Del resto Superman se vuole può volare con una velocità infinita, come infinito è il bene che si vuole al papo o il dolore che si prova per un graffio. Il primo contatto reale che hanno con il vero infinito è quando imparano sul serio a contare (andando oltre la sterile cantilena unoduetrequattro dell'infanzia) e capiscono il meccanismo dei numeri naturali e la potenzialità dell'aggiungere sempre un'unità. Ma non si pongono poi tanti problemi, l'infinito continua ad essere una cosa molto molto grande, ma alla fine confrontabile tranquillamente con il numero dei capelli o con quello dei granelli di sabbia.
Del resto è un concetto che anche nel corso della storia è rimasto per lungo tempo poco chiaro.




Nick Cage e la sua giacca simbolo

Aperta parente. Ribadisco ove ce ne fosse ancora bisogno  per i consueti visitatori e annuncio per la prima volta ai (spero quasi infiniti) nuovi ospiti, che questo modesto blog è l'unico posto dove posso davvero fare quello che mi pare; lo considero un po' come la giacca di pelle di serpente di Sailor (Nicolas Cage) in Cuore Selvaggio: rappresenta il simbolo della mia individualità e la mia fede nella libertà personale, libertà che stavolta ho deciso di utilizzare per ammorbarvi con qualche vaga e imprecisa nozione storico-matematica sul concetto di infinito nell'antichità (1). Tranquilli, ci metto qualche foto colorata qua e là così vi rendo più leggero l'ingrato compito di arrivare fino in fondo. E chiusa parente.



L'idea di infinito non è mai stata immediata e di facile comprensione per l’essere umano. L'estrema astrattezza ne fa da sempre terra di paradossi e veicolo di timori reverenziali, quando non proprio simbolo dell'assurdo e del malvagio.

I babilonesi e gli egizi, primi popoli ad avere un approccio matematico ad alcuni problemi pratici (misure di campi, astronomia, astrologia, calendari, questioni ereditarie) non l'hanno nemmeno sfiorata. Per loro poteva essere oggetto di calcolo o di indagine solo ciò che era ben concreto e di immediata utilità.

Altri che in seguito hanno provato ad affrontare l'argomento relegarono l'infinito e il non definito nel novero delle cose da evitare: i Pitagorici, nella loro concezione numerico/mistica, associavano il concetto di incompiutezza, di imperfezione e di mancanza di forma al male, e nella coppia péras-apeiron, una delle dieci paia di contrari o principi costitutivi delle cose, il secondo termine designa appunto l'infinito, il non-essere, l'imperfezione.



I primi timidi tentativi di affrontare lo spinoso argomento sono stati portati avanti dalla scuola eleatica nel V Sec. AC: un tipo chiamato Zenone, allievo di Parmenide e lui stesso pitagorico, ideò una serie di 4 paradossi, che conosciamo attraverso gli scritti di Aristotele.

Zenone di Elea

A dire il vero queste storielle, più che ad indagare il mistero dell'infinito, servivano a mostrarne al lettore l’assurdità. In uno di questi aneddoti Zenone afferma che per andare da un punto A ad un punto B bisogna prima arrivare ad un punto C che si trova metà strada, ma prima ancora bisogna arrivare a D che è a metà tra A e C and so on. In altre parole assume che lo spazio sia indefinitamente divisibile e che una lunghezza finita contenga un numero infinito di punti, che non si possono coprire con un tempo finito. Conclusione: il movimento è impossibile.

Aristotele, qualche anno dopo, nella Fisica, prova a confutare il paradosso di Zenone. Distingue due tipi di infinito, quello in estensione (ad esempio gli infiniti numeri naturali) e quello in divisibilità (metà della metà della metà...). Secondo Aristotele è possibile uscire dall'impasse del secondo tipo considerando che anche il tempo è infinitamente divisibile, quindi un tempo finito è sufficiente a coprire una distanza finita. Mi pare una buona via d'uscita.

Ma poco dopo lo stesso Aristotele manifesta il suo horror infiniti quando afferma che i concetti indefiniti e privi di forma o di limite sono imperfetti. In una sua disquisizione sulle relazioni tra punti e retta, afferma che il punto è indivisibile e privo di dimensione, pertanto un insieme di punti non può in alcun modo formare una retta continua, al massimo può servire da confine per i segmenti. Un punto attaccato ad un punto, o attaccato a mille punti, continua a non avere dimensioni. L'unico modo per costruire un segmento è muovere un punto e tracciarne il movimento. Il concetto di densità infinita e di continuità, quello che poi sarà proprio dei numeri irrazionali, è anche in questo caso accuratamente evitato.

Gli Elementi di Euclide

Euclide, attorno al 300 AC, nei suoi Elementi (Libro IX, Proposizione XX) presenta una elegantissima dimostrazione (2) dell'esistenza di infiniti numeri primi, affrontando il concetto di infinito estensivo: c'è sempre un numero con determinate caratteristiche (in questo caso la primità) più grande di un numero dato. L'esempio più semplice, se non vi è bastata la nota a pié di pagina, è quello dei numeri naturali: se aggiungo uno ad un numero grande a piacere, trovo sempre un numero più grande.

In realtà  il nostro eroe non parla di infinito in maniera esplicita, e l'enunciato originale (o meglio una traduzione il più possibile vicina all'originale) si presenta più o meno come:

I numeri primi sono più di qualsiasi moltitudine assegnata di numeri primi.

 

D'altro canto lo stesso Euclide evita con attenzione di parlare di infinito anche quando imposta il suo famigerato quinto postulato, quello delle rette parallele, che suona più o meno così:

Se una retta, venendo a cadere tra due rette, forma gli angoli interni da una stessa parte minori di due angoli retti, le due rette, prolungate a sufficienza, si incontrano dalla parte in cui sono i due angoli minori di due angoli retti.

Non si afferma che due rette parallele non si incontrano mai o si incontrano all'infinito (che è un po' la forma moderna ma imprecisa con la quale oggi conosciamo il quinto postulato), bensì che si incontrano dalla parte in cui la somma degli angoli interni (di incidenza con la retta secante) è minore di 180 gradi. Quindi, se la somma degli angoli interni è 180 gradi esatti, le rette non si incontreranno né da una parte, né dall'altra. E questa cosa Euclide la esprime senza mai nominare né tantomeno pensare all'infinito. Al posto di considerare due rette che si estendono all'infinito e dare la condizione di parallelismo, dà una condizione affinchè si incontrino a distanza finita.

un tipo fremente

Conclusione: niente infinito nell'antichità. O meglio, vaga percezione dell'esistenza del problema ma massima attenzione a non sfruguliare troppo il concetto, che potrebbe ribellarsi vomitando paradossi e sfighe varie.

Nella prossima puntata vedremo come l'idea verrà affrontata nei secoli successivi. Sono sicuro che non ve la perdereste per nulla al mondo. Già vi vedo tutti frementi.

Note:

1- Mi riferisco ovviamente al concetto che dell'infinito si era fatta la sparuta minoranza che aveva modo e tempo da dedicare al problema, perché sono alquanto sicuro che il 99% della popolazione avesse ben altri problemi e che dell'infinito non gli importasse una beneamata cippa.

2- Supponiamo ci sia solo un numero finito di primi (p1, p2, ..., pn). Ora consideriamo il numero ottenuto dalla moltiplicazione di tutti i numeri primi e aggiungiamo 1 (p1*p2*...*pn+1). Questo numero è primo, in quanto se lo dividiamo per ognuno dei numeri primi conosciuti (p1, p2, ..., pn) otteniamo sempre come resto 1. Ed è sicuramente più grande di pn. Quindi esistono infiniti numeri primi.
Pensate che questa cosa è stata immaginata 2400 anni fa. Non lo trovate anche voi semplicemente meraviglioso?

Compleanni e dintorni

Nei giorni scorsi, coadiuvato dalla forzata permanenza casalinga in compagnia di fastidioso virus intestinale, sono rimasto imbrigliato nella lettura di una serie di post  di sommo interesse tuttologico, che (contrariamente a quanto affermano alcuni maligni) nulla hanno a che fare con gli effetti né con le cause della succitata indisposizione.

Succede che i divini Rudi Matematici pubblicano da ormai quattordici anni una e-zine di matematica ricreativa: tutti i numeri (ad oggi ne sono stati pubblicati 169) sono facilmente rintracciabili a questo link.

La rivista ha la sua anima nella sezione "i problemi del mese", dove vengono presentati, in maniera sempre ammaliante e meravigliosamente ben scritta, due quesiti matematici di varia difficoltà e natura. Purtroppo il sottoscritto pennuto, non disponendo a sufficienza né di abilità risolutiva né di formazione tecnica, non riesce ad apprezzare appieno le questioni proposte e sovente si ferma all'ammirazione per la dotta esposizione del quesito senza riuscire a godere appieno della sua matematica ragion d'essere.

Tuttavia ogni numero della rivista (a partire dal 48) si apre con la celebrazione del compleanno di un matematico nato nel mese di pubblicazione. Forse i Rudi considerano questo articolo di apertura un mero viatico per il cuore del loro lavoro mensile, i quesiti appunto. Ma per me questi compleanni narrati in una manciata di pagine sono diventati un'ossessione.

Premetto che la biografia e i principali apporti alla disciplina matematica del personaggio del mese non vengono spiattellati in maniera asettica e monotona, come farebbe un qualsiasi Tacchino. Tutt'altro. L'argomento del mese viene introdotto da una serie di contestualizzazioni e di nozioni al contorno che dire che i cari Rudi la prendono alla larga è riduttivo. E in questo ampio giro di avvicinamento c'è spazio per tutto, ed è un tutto sempre affascinante, coerente, rigorosamente a tema e, alla fine ti accorgi, indispensabile. Chessò, giusto a mo' di esempio, nell'ultimo compleanno che ho letto (guarda caso Godel, celebrato nel numero 87 della rivista) si parte da una frase di Woody Allen, per parlare di epistemologia, e poi affiancare in una unica visione relatività, principio di indeterminazione e teoremi del festeggiato, senza mai entrare in dettaglio più di quanto sia necessario, ma sempre facendo capire che chi scrive i dettagli ce li ha ben presenti, e li ha predigeriti per rendere il compito più facile a noi utenti della facile divulgazione scientifica.

Quindi il mio consiglio di oggi è: leggete i compleanni dei Rudi Matematici, non credo al momento ci siano in giro parecchie letture migliori sull'argomento "storia della matematica e dintorni". 

Anzi, la dico tutta: mi piacerebbe che un giorno non molto lontano Rudy, Piotr e Alice raccogliessero i loro compleanni per noi fan in un'unica pubblicazione; in attesa di tal radioso evento, noi poveri utenti abbiamo due strade: scaricare le riviste per intero dal link che ho messo sopra (vi aiuto a ricercare il matematico e l'argomento di vostro interesse riportando qui sotto l'elenco dei compleanni e degli altri argomenti trattati, preso pari pari dal sito dei Rudi); oppure, in alternativa, potete andare sul blog Le Scienze (dove i Rudi riportano parte delle loro pubblicazioni) e cercare i compleanni nell'elenco dei post. Io, per me, sto facendo così: vado sul sito de "Le Scienze", leggo l'elenco dei post, quando vedo scritto buon compleanno tizio, apro il post con Chrome dove ho installato la mia brava App "push to Kindle" e me lo sparo direttamente sul mio ebook reader, in modo da poterne godere in metro, a letto,  mentre lavo i piatti, mentre faccio finta di parlare con mia moglie. Voi organizzatevi come credete.

Ah, a proposito di cose da organizzare, buon voto.

Lista dei compleanni celebrati dai Rudi Matematici:

Titolo	Matematico	RM	... e si parla anche di
Torino 1750	Lagrange	48	Vecchia Torino e accampamenti romani
Stanlio e Ollio	Hardy & Littlewood	49	Lavoro di coppia e collaborazione scientifica
Questione di Attributi	Noether	50	Medioevo, Ipazia e le donne in matematica
Di Minuscole Forme	Euler	51	Formule matematiche e loro bellezza
Nemesi	Russell	52	Costellazioni, mitologia greca, Frege e Godel
I Lati di Dio	Pascal	53	Scienza e religione
L'Acusmatico	Leibniz	54	Anagrammi galileiani e priorità nelle scoperte
Rue S.te Marguerite, No 41	Abel	55	Manoscritti, libri, Libri, Del Centina e premi
La Prostituta del Diavolo	Ostrogradski	56	Supernove storiche, culture scientifiche e plagi
Geometria dell'Endecasillabo	Weierstrass	57	Poesia, versi, haiku e limerick
Fuoco, Acqua e Infinito	Archimede	58	Battaglie e caduti, Custer e Annibale
La Farina di Ofelia	Babbage & Lovelace	59	Tassa sul macinato, Menabrea, Byron e Shelley
Wir mussen wissen...	Hilbert	60	Templari, Teutonici, Kant, ponti e Konigsberg
Le Parole per Dirlo	Boltzmann	61	Carlo Magno, etimologia e linguaggi
Consecutio Temporum	Cantor	62	Sussidiari e grammatica, tempi verbali e "reali"
Una Vita da Mediano	Bohr (Harald)	63	Calcio, sport, medaglie e classifiche
Requiem per una Formula	[Storia della Cubica]	64	scritto dalla guest star Dario Bressanini
Una Fionda per Davide	Wantzel	65	Trisezioni, Quadrature, Duplicazioni (e Darwin)
Cuori, Curve e Cupole	Buckminster Fuller	66	Catenarie, Gaudì, Cupola Geodesica
Sineddochi	Peano	67	Pacchetti d'Onda, Piemontesi e Dimensioni
Pellegrinaggio a Thule	Riemann	68	Ultima Thule, Esplorazioni, Ipotesi di Riemann
Group Fiction	Galois	69	Roma, Romanzi, Romanzare, Fictionalization
Una Reale Cooperazione	Wallis	70	Patroni, Cupertino, Hobbes, Royal Society
Il Tempo e il Denaro	Newton	71	Euro, Calendari, Riforme, Mele e Lune
Misurare la Paura	Caccioppoli	72	Pianoforti, Insetti Sociali, Ribellioni e Napoli
Un Naso per Platone	Julia	73	Frattali, Google-Googol-Gogol, Nasi
Varianti e Invarianti	Einstein	74	1905, Annus Mirabilis: Mirabilia e altro
Matematica per Porcini	Poincaré	75	Talete, Longitudine, Latitudine, Metri, Gradi
Love Story	Feynman	76	Un fisico innamorato, nell'Anno della Fisica
Tra Tatooine e Tebe	Lyapunov	77	Edipo e Anakin Skywalker, e il Fato
Tre (verdi) Foreste	Green	78	Teutoburgo, Foresta Nera e Sherwood
Per chi suona la Campana	Hamilton	79	Misurare l'intelligenza (d'un genio, ovviamente)
Tutto sbagliato, tutto da rifare	Thom	80	Sommosse, Eruzioni, Rivoluzioni, Catastrofi
Idee ad Improbabilità Infinita	Dedekind	81	Douglas Adams come il genio di Brunswick
Difficile come contare fino a dieci	Weyl	82	La definizione di pianeta e quella di un matematico
Quintum Non Datur	Bolyai & Lobachevsky	83	Quinto: Impero, Elemento, Postulato
Mente Minuta	Enriques	84	Enciclopedie ed enciclopedisti
Rigoroso Esame	Galilei	85	Il Seicento difficile, non solo per Galileo
Sasha e Shurik	Grothendieck	86	Rivoluzioni e romanzi storici
Assolutamente e Completamente Determinato	Goedel	87	Fumetti, film, e il Teorema di Incompletezza
Figura e Sfondo	Weil	88	Arte moderna, se non fosse per Bourbaki
Normale come Biancaneve	Turing	89	Ciclismo al contrario, Enigma e Normalità
Intendere e Volere	Zermelo	90	Parole, parole, parole. E la Scelta.
Polenta d'estate	Fermat	91	Hanc Marginis Exiguitas... e fette di polenta
Dalla Cella all'Infinito (via Rete)	Mersenne	92	Millenni, monaci, mosche. E numeri primi.
Lessico Famigliare	Bernoulli (famiglia)	93	Buendìa, Incipit, Romanzi.
Di Tutto, di Più	Boole	94	Reality Show, Unità aristoteliche della tragedia, l'Everest e molto altro...
Vite Parallele	Hermite	95	Esami, Licei, Professori e le somiglianze con Galois.
La, tutta la, niente altro che la	Tarski	96	La verità dei film, dei telefilm, e magari anche quella matematica.
Hamburger o Portaerei?	Coxeter	97	Nuvole, e altre forme volatili
Tolleranza Zero	Levi-Civita	98	Razze, Ariani, e altri
La Geografia Difficile	Zariski	99	Brest e Brest, Bielorussia, Ucraina, Chernobyl
Diventare padrone dell'Universo	Fields	100	Medaglie, Convegni, Premi e Vincitori
La Compagnia del Ginnasio	Friedmann, Tamarkin, Smirnov	101	Tolkien, Universo in espansione, Balmer
In Principio era il Numero	Pitagora	102	Informazione e Dimostrazione
Non dire gatto...	Schroedinger & Dirac	103	Meccanica Quantistica e Meccanica Felina
La Musica della Ragione	Sylvester	104	Crimea, Nightingale, Croce Rossa
Fuoco	Wren	105	Incendi: Roma, Londra, Ricostruzioni
Topoi	Scott	106	Luoghi Comuni, Donne e Dawkins
Dottor Stranamore	Von Neumann	107	XX Secolo, contraddizioni e crudeltà
Il Bianconiglio di Vittoria	Dodgson (L.Carroll)	108	Età Vittoriana e Ottocento
Contare coi Buchi	Hollerith	109	Censori, Censimenti, e macchine
Bello e Impossibile	Erdos	110	Numeri grandi e reti di collaborazione
Zero e Uno	Shannon	111	Lingue, linguaggi, ridondanze
Lost in Translation	Agnesi	112	Traduzioni e perdite nelle traduzioni
Rappresentazioni e Decimali	Maxwell	113	Idealismo tedesco, Schopenhauer, Numeri
Il Brutto Anatroccolo	Hooke	114	Fiabe, apparenza e universalità
La Ventinovesima e la Tredicesima Olimpiade	Kac	115	Olimpiadi, olimpiadi, olimpiadi
Orgoglio e Pregiudizio	Ruffini	116	Nazionalismi, cibo e Modena
Placidi Orsi	Bolzano	117	Orsi, ponti, fiumi, santi
Gettare l'anima oltre l'ostacolo	Möbius	118	Peppone e Don Camillo, ICAF, bordi
Per Gioco	Conway	119	Gioco, giochi, ludus, ludi, Rudi Ludi
Oriente e Occidente	Dal Monte	120	Est, ovest, Europa e eurocentrismo
Shedworking	Aida	121	Shed, isolamento, autarchia, Giappone
Saranno Famosi?	Goldbach	122	Fama, Immortalità, Nobel mancati e fortuna
Padri e Figli	Peirce & Peirce	123	Abduzione, Megan Gale, marchi di telefonia e processi
Viaggio in Italia	Durer	124	Grand Tour, e relazioni tra Arte e Matematica
Reazioni a catena	Markov	125	Orizzonti, monti, e soprattutto catene
Project Management	Cartan	126	Il papà (ultracentenario) di Bourbaki
L'antipatico	Cauchy	127	David Letterman, tastiere per macchine per scrivere, sfide
Le sue prime settanta pagine	Saccheri	128	Serendipity, fortuna, sagacit
Piccole Storie Nascoste	Guccia	129	HD, Pentium, alloro, trionfi, Congressi e Medaglie
Pari Opportunità	Ipazia	130	Nobel, Matematica, Storia, Cinema: tutto al femminile
Alle Urne!	Polya	131	Scritto dalla guest star Luigi Amedeo Bianchi
Tout se tient	Libri	132	Etica e morale, libri e Libri secondo il GC
Carte Quarantotto	De Giorgi	133	Dalla matematica ai diritti umani, con le carte del '48
Fare a pezzi	Banach	134	Polonia, Ucraina, Scottish Caf
Che ore sono?	Huygens	135	Dagli orologi al mondo, dal mondo al cielo
Sublimato all’un per mille	Volterra	136	Giuramento del 1931, Manifesto della Razza
Nient’altro che un giornalista	Gardner	137	Non un compleanno, purtroppo, ma un necrologio
Tre matematici alla corte del re	Darwin	138	D'Arcy Thompson e i due Darwin meno famosi
Alieni	Taussky-Todd	139	Una strana forma di alieni. Ad averne...
Le opere e le facce	Legendre	140	Mozart, Rossini, Shakespeare, Bacon, e altri...
Li Madou	Matteo Ricci	141	Esplorazioni, Panama, Cina
Voci di corridoio	Staffilani & Marcolli	142	Medaglia Fields, matematiche italiane
Pensiero Laterale	Adleman	143	Brainstorming, Reverse Thinking
Pregiudizi	Kovalevskaya	144	Hedy Lamarr, Numero di Erdos
Invito a Nozze	Dirichlet	145	Marcia Nuziale, Mendelssohn, von Humboldt
La signora delle Comete	Herschel (Caroline)	146	Bellezza vs destrezza
Rivoluzionari	Gauss	147	Federico il Grande, Napoleone, Ferdinando di Brunswick
Il Nazista e l'Ebreo	Bers & Teichmuller	148	Stalingrado, diritti umani
Debiti da rimettere	Nash	149	Debiti, Pater Noster, "A beautiful mind"
Risorgimento!	Matematici del Risorgimento	150	Betti, Beltrami, Brioschi, Cremona, Menabrea, Mossotti...
Tempio greco	Zenone, Apollonio, Eratostene	151	In tre per tre (noi siamo le colonne...)
Il silenzio delle giraffe	Maupertuis	152	Intelligent Design, Minima Azione
Limiti	Schwarzschild & Chandrasekhar	153	Tutti i confini che è vietato (o auspicabile) superare
Genius loci	Plana	154	Il primo informatico italiano, secondo il GC
Maestro e Discepolo	Born & Heisenberg	155	La MQ di Gottinga
Estetica del Sarchiapone	Courant & Robbins	156	Sarchiaponi, MacGuffin, domande fondamentali
Il Salto del Leone	Alberti	157	Olimpiadi, salti da fermo, poliedricità
Simboli e Capitomboli (in moto browniano)	Bachelier	158	Matematica e Finanza
Collegio Matematico numero 18	Kolmogorov	159	Insegnanti, discepoli, metodi
Rosso Malpelo	Heaviside	160	Popoli, PIL, rossi
Confusione	Thomson	161	Omonimi, dalle guerre puniche in poi
Tra la guerra e il Vietnam	De Jonquières	162	Colonialismo, globalizzazione
The times they are a-changin'	Uhlenbeck	163	Cambiamenti, lenti e veloci
Isole e Laghi	Al Biruni	164	Geografia e Oriente
La mia vita è un romanzo	Torricelli	165	Fantasy, fama immeritata
La luna di Venere	D'Alembert	166	Nomi, pseudonimi, allonimi
Il re del gioco dei re	Lasker	167	Scacchi, scacchi, scacchi
Etimologia particolare	Bose	168	La storia dei nomi delle particelle elementari
Canali di comunicazione	Briggs	169	Canali vecchi e nuovi

Carnevale della matematica #58

Come ogni mese che si rispetti, anche febbraio ha il suo Carnevale della Matematica.
Questa volta è ospitato in maniera egregia dal megablog d'autore Rudi Matematici.
Il Tacchino ha avuto l'onore di aprire l'elenco dei contributi con il post Alcune palle travestite da matematica.
Buona lettura.

Alcune palle travestite da matematica



Un'ipotesi come un'altra

I teoremi matematici hanno almeno una cosa di buono: sono sicuramente corretti. Una volta dimostrato, un teorema non può essere più smentito. In questo la matematica è una disciplina unica, perfetta: non ci sono dubbi, niente rischi di errore, niente balle, o palle che dir si voglia (1). Quanto stabilito da Euclide duemila e passa anni orsono è ancora valido e attuale.

Le palle a cui si allude nel titolo non dipendono quindi da fantomatici errori contenuti in affermazioni matematiche, ma dalle conclusioni che a volte si raggiungono applicando tecniche proprie della matematica al mondo reale.

Questo capita nei casi in cui con strumenti matematici si provano ad analizzare fenomeni che matematici non sono, ad esempio quando si entra nel campo delle scienze sociali, dove l'essere umano e la complessità del processo decisionale la fanno da padrone. Spesso le ipotesi poste alla base del tentativo di descrizione si rivelano talmente limitative che l'intero modello fa acqua. L’applicazione acrobatica degli strumenti matematici a campi che matematici lo sono poco è meravigliosamente esemplificata della storiella della mucca sferica (2): ad un primo sguardo sembra un’esagerazione, un paradosso per liquidare e mettere in ridicolo la fallacia di alcune rappresentazioni teoriche della realtà. Ma provate a prendere un manuale di microeconomia, al capitolo riguardante il modello della concorrenza perfetta.

Troverete più o meno questo genere di mucche sferiche:

• il bene prodotto è uguale per tutti gli operatori,
• le imprese operano in condizione di "informazione perfetta", ossia tutti gli operatori dispongono di informazioni complete in merito ai costi di produzione, ai prezzi, al salario reale di equilibrio, ecc.,
• le imprese che operano sul mercato hanno una dimensione atomica, tale da non poter influenzare in alcun modo i prezzi di vendita, e non esistono barriere all'ingresso e all'uscita dei concorrenti,
• i fattori della produzione sono perfettamente sostituibili fra loro, ossia possono essere riallocati alla produzione di diversi beni, mantenendo sempre la stessa produttività marginale,
• c'è libertà di entrata o uscita dal mercato,
• non ci sono tasse,
• non c'è progresso tecnologico.

Di fronte all’irrealtà di queste ipotesi la mucca sferica della storiella mi pare tutt’altro che inaccettabile.

Ora, posso capire e accettare il ragionamento in base al quale, date tali premesse, il modello economico che ne consegue abbia caratteristiche di ottimale allocazione delle risorse. Il problema qui è capire se l’estrema semplificazione introdotta dalle ipotesi sia ancora aderente alla realtà che si pretende di descrivere.

Se si prova a spiegare il mondo con questi modelli, se si afferma che una teoria del genere è in qualche modo rappresentativa della realtà e che se ne possono trarre indicazioni su come funziona un sistema complesso come quello dei mercati e dell'allocazione delle risorse, si rischia solo di raccontare balle spacciandole per teorie corazzate di coerenza matematica.

Queste storture accadono spesso quando si prova ad applicare la linearità di alcuni concetti matematici ad un mondo che lineare non è: quello umano, caratterizzato dalla complessità decisionale e da meccanismi di azione/reazione spesso imprevedibili. Quando si parla di sistemi complessi come lo sviluppo economico, la meteorologia, la crescita demografica, gli ecosistemi, semplificare introducendo ipotesi stringenti è sempre pericoloso: si rischia di escludere proprio i fenomeni importanti, quelli che contano di più, e il pericolo reale è quello di raccontare frottole. Grosse palle, appunto. Ok, il predicozzo è finito.

A proposito di palle e matematica: mi è stato recentemente riferito che una delle poche volte che G. , l'amica di mia figlia V., non ha gridato, Matematica? che palle! (a dire il vero non userebbe mai quest'espressione vetero adolescenziale, è troppo educata per farlo, ma ho pochi dubbi sul fatto che i neuroni che le si accendono quando sente parlare di numeri e operazioni sono gli stessi che provocherebbero in un diciassettenne degli anni ottanta l'espressione suddetta) insomma l'unica volta è stata quando ho provato a spiegarle come calcolare la tabellina del nove con le dita. Ne ho parlato diffusamente qui, ma vi faccio un riassunto:

Metodo manuale per la tabellina del nove:
Mettete le mani aperte di fronte a voi, con i palmi rivolti in avanti. In questo modo il mignolo della mano sinistra è uno, l'anulare è due e così via, fino al mignolo della destra che è dieci.

Mettiamo di voler calcolare nove per sette. Allora si abbassa il dito sette, l'indice della destra. Le dita che rimangono alzate alla sinistra dell'indice abbassato sono le decine del risultato che cerchiamo, quelle a destra sono le unità. A sinistra rimangono alzate sei dita, a destra tre: sessantatre (3). Tranquilli, funziona sempre. Provate a proporlo ai vostri piccoli matematici in erba, vedrete che, almeno per una volta, non diranno Matematica? che palle!

Note:

1. Dal dizionario dei sinonimi e contrari Treccani: balla, bubbola, bugia, ciancia, falsità, (fam.) fandonia, fanfaluca, (lett.) fola, (non com.) frasca, invenzione, menzogna, (fam.) palla, panzana, (non com.) pispola, storia.
2. Dice pressappoco così: un giorno un contadino affidò ad un gruppo di matematici l’incarico di aiutarlo ad aumentare la propria produzione di latte. Quando ricevette la relazione finale, rimase decisamente interdetto: la prima frase era si consideri una mucca sferica…
3. Tratto da : Il segreto delle tabelline e la Banda delle 3 emme di Mario Sala Gallini, disegni di R. Van Wyk, edizioni Mondadori.

Il gioco della vita

Immaginate un mondo bidimensionale diviso in tanti quadratini uguali che rappresentano la minima unità di spazio e che chiameremo celle; ogni cella può essere piena (nera) o vuota (bianca) e ha otto vicini che confinano con essa per un lato o per un angolo. Immaginate un quadrato di, facciamo, mille celle di lato come campo di gioco.

Definiamo le due uniche leggi fisiche del nostro mondo virtuale, solo e nient'altro che queste:

1. una cella vuota con tre vicini pieni diventa piena, altrimenti rimane vuota.
2. una cella piena con due o tre vicini pieni rimane piena, altrimenti diventa vuota.

Se siete portati ad antropomorfizzare, potete intendere la regola 1 come nascita da tre genitori, la regola 2 come morte da isolamento o sovraffollamento.

In questo mondo semplificato il tempo scorre in modo discreto, per istanti successivi, un po' come nei combattimenti nei film di Bruce Lee.

Vediamo come funziona questa cosa che abbiamo creato: se in un istante abbiamo una sola cella nera, questa nell'istante successivo diventerà bianca (o morirà per isolamento) e poi il nulla.

Se abbiamo invece tre celle piene contigue e allineate in orizzontale, nell'istante 1 la cella centrale avrà due vicini pieni, e quindi nell'istante successivo rimarrà piena (regola numero 2), mentre le altre due celle, a destra e a sinistra di quella centrale, avranno un solo vicino nero, e diventeranno bianche (sempre regola numero 2). Di contro le celle sopra e sotto la celle centrale, inizialmente vuote, avranno nell'istante 1 tre vicini neri (le tre celle iniziali) e quindi diventeranno nere nell'istante due (regola numero 1). Semplice no?

Per rendere il tutto più realistico, qui sotto vi propongo la situazione dinamica, una figura chiamata "lampeggiatore" di periodo 2 (ogni due istanti torna alla configurazione iniziale):

Ci sono altri lampeggiatori di periodo 2, come questi:

Ma ci possono essere anche figure cicliche a periodi maggiori di 2.

Ci sono poi figure che rimangono sempre fisse, le più semplici delle quali sono queste (provate ad applicare la regola numero 2 ad ogni cella e vedrete che funziona, in quanto ogni cella nera ha due o tre vicini neri):

Di solito, se si dispongono casualmente nello spazio delle celle nere, le configurazioni così create si modificheranno istante per istante per approdare poi ad una situazione statica o all'estinzione. A volte però si può costruire qualcosa di interessante.
Vi consiglio di provare voi stessi a creare delle figure per vedere quanto tempo sopravvivono e se hanno delle caratteristiche particolari. Se, come credo, non vi va di fare i calcoli per conto vostro, sappiate che in rete ci sono decine di programmi, anche online, che lo faranno per voi (ad esempio questo o quest'altro, o se siete ipadizzati ci sono alcune Apps da scaricare), visto che questo mondo artificiale è ben famoso, è stato ideato e poi sviluppato dal matematico britannico John Conway già dall'inizio degli anni settanta, e si chiama "The Game of Life", o semplicemente Life.
Lo scopo iniziale di Conway era mostrare come da un mondo semplice con basilari leggi fisiche (due, nel nostro caso) fosse possibile ottenere comportamenti simili alla vita.

Se questo obiettivo vi sembra esagerato provate a giocarci un po' e scoprirete che ci sono delle figure che si modificano riempiendo celle verso un lato e svotandone altre nel senso opposto e che quindi pare si muovano.

Ad esempio questo è un aliante, la più sempice struttura semovente:

e questa una nave spaziale

Se andiamo verso una maggiore complessità, possiamo trovare delle strutture che ne mangiano altre, che si uniscono a formarne una più grande, o che emettono impulsi informativi verso l'esterno, come il cosidetto "cannone di Gosper", che spara alianti (sono le figurette che vanno verso sudest).

Life avuto moltissimo successo tra studiosi e semplici curiosi in tutto il mondo: sono stati elaborati programmi per PC per simulare a forti velocità le evoluzioni delle figure più complesse, sono state progettate nuove proprietà, sono nati forum per discutere delle figure migliori, persino organizzate battaglie tra creature per trovare la più resistente, la più adatta, in una sorta di evoluzione darwiniana. Vi consiglio di andare a sbirciare su You Tube alcune delle panoramiche più rappresentative (a mo' di esempio vi indico questa, davvero strabiliante).
Life è stato utilizzato anche per provare a simulare la vita artificiale. Ad esempio è stata progettata una figura che è capace di replicare se stessa, una sorta di DNA virtuale. Abbiamo tra le mani un giocattolone in cui, partendo da elementi semplicissimi e regole minime, se si riesce a raggiungere un livello di aggregazione sufficientemente complesso, si giunge a meccanismi che sembrano fuori della portata delle iniziali e semplicissime regole ed elementi, e che sembrano addirittura creati da intelligenze superiori, sembrano avere una vita propria (se avete dato un'occhiata agli esempi su You Tube quest'affermazione non vi sembrerà così assurda), mentre invece sono solo organizzazioni complesse di elementi semplici che seguono un algoritmo, una regola fisica, nient'altro. Qualcuno potrebbe dire che in Life un'intelligenza superiore c'è, ed è quella del demiurgo che inventa la figura e la deposita sul piano di gioco, ma a ben vedere l'apporto del demiurgo è più che altro per simulare una disposizione casuale delle celle che potrebbe verificarsi anche spontaneamente, se solo avessimo a disposizione il tempo necessario e una regola che ogni tanto fornisce un errore, tipo la replicazione non sempre perfetta del DNA.

Prendiamo ad esempio l'aliante. È una figura molto semplice, viene fuori autonomamente dopo pochissimi tentativi ed errori. Ed è il fondamento di tutto il resto su Life, del movimento, dell'informazione che passa da una struttura all'altra. In linea teorica è stato dimostrato che sarebbe possibile creare su Life una macchina di Turing universale, con le informazioni che passano al suo interno grazie ad un nastro di alianti, e quindi svolgere ogni tipo di calcolo (sulla rete ci sono parecchie macchine universali di Turing costruite su Life, ma non so se funzionano davvero). Per alcuni ciò significa che potenzialmente, raggiungendo la necessaria complessità, si potrebbe creare artificialmente una mente, una coscienza. È stato calcolato che una struttura del genere dovrebbe essere sufficientemente complessa (servirebbero 10 alla tredicesima celle, un quadrato di circa tre milioni di celle di lato) ma non c'è da meravigliarsi delle dimensioni teoriche di questo "mostro", considerato che anche con queste dimensioni non sarebbe più grande rispetto ai suoi mattoni fondamentali di quanto un organismo semplice lo è rispetto ai suoi atomi (1).

Che piaccia o meno, fenomeni come questo mostrano il nocciolo della potenza dell'idea darwiniana. Un minuscolo brandello di meccanismi molecolari, impersonali, irriflessivi, automatici e privi di una mente è il fondamento ultimo di tutta l'azione, e quindi di tutto il significato, e quindi di tutta la coscienza, dell'universo.

Vi lascio con un magnifico esempio delle potenzialità di Life: un mega-schema dove, con i meccanismi atomici di Life, viene riprodotto a dimensioni estremamente maggiori Life stesso. In poche parole un Life frattale, sottolineato dall'azzeccatissimo commento audio, una nota che sembra continuamente crescente ma a ben vedere è ciclica, a suo modo una nota frattale.

Note:

1. Per chi volesse approfondire, consiglio l'ottima trattazione dei significati evolutivi del Game of Life di Conway come viene esposta nel libro di Daniel Dennett, L'Idea Pericolosa di Darwin, dal quale è anche tratto il corsivo finale.