Caos #3 - Pasticcio di pongo

Una barriera mi ha tenuto lontano dall’argomento caos per tutto questo tempo: la difficoltà di spiegare di cosa vorrei parlare. Sono settimane che cerco di raccogliere le idee e di annodare i vari fili che mi penzolano in testa dopo le letture sull'argomento.
Non essendo un matematico, i percorsi che seguo nel tentativo di affrontare argomenti tecnici sono spesso poco ortodossi, scollegati, e soprattutto e imperdonabilmente poco tecnici e rigorosi, nel senso che mi accorgo sempre più di non essere in grado di spiegare in maniera esaustiva tutti i necessari dettagli della teoria. Pertanto quello che man mano ho raccolto, e che provo a riproporre qui in alcuni aspetti, non solo è assolutamente passibile delle correzioni di un lettore più avvezzo di me ai segreti della materia, ma potrebbe addirittura essere privo della stessa possibilità di essere corretto in quanto talmente incoerente da risultare incomprensibile o privo di senso.
Me ne scuso sin d'ora.
Però ormai mi sono imbarcato in questa cosa, che nonostante tutto continua ad affascinarmi, e quindi provo a buttarmi nella mischia. Al massimo ci rimetterò il paio di lettori.

Di solito nei libri di testo perbene si comincia con una definizione, anche se a volte questa, lungi dall’essere di aiuto alla comprensione, crea ancor più confusione o, nel migliore dei casi, aspettative troppo precoci.
La migliore definizione di caos (ovviamente in senso matematico) che ho trovato si trova nel saggio di Ian Stewart Dio gioca a dadi?: il caos è comportamento stocastico che si verifica in un sistema deterministico.

Accenniamo un po’ di storia: negli ultimi due millenni la Geometria è stata quella euclidea. Punti, rette, piani. Cerchi e sfere, triangoli e coni. Galileo diceva che il libro del mondo è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi, ed altre figure geometriche, senza i quali mezi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro laberinto. Una struttura che aveva il suo fondamento filosofico nella teoria platonica delle idee, per ogni cono che costruisci in maniera approssimata nel mondo reale esiste Il Cono, una figura geometrica perfetta per le quali valgono determinate caratteristiche e regole di costruzione. Si sapeva che le strutture concrete rappresentavano un'approssimazione della figura ideale e si credeva che la geometria euclidea fosse la sola capace di interpretare la realtà in maniera utile. Tuttora questa geometria rappresenta l'unica che si studia nelle scuole (a parte corsi universitari molto specialistici) e l'unica che l'uomo medio conosce. Ma Mandelbrot, uno dei profeti della nuova visione della natura, dice le nuvole non sono sfere, le montagne non sono coni, il fulmine non si propaga in linea retta.
A tal proposito riporto una storiella simpatica: un giorno un contadino affidò ad un gruppo di matematici l’incarico di aiutarlo ad aumentare la propria produzione di latte. Quando ricevette la relazione finale, rimase decisamente interdetto: la prima frase era si consideri una mucca sferica…
La geometria euclidea, e la matematica che c'è dietro, rappresenta sempre un'estrema esemplificazione della realtà, e si occupa di eccezioni, di casi particolari, di esempi limite a ben vedere rarissimi nella loro essenza: tra miliardi di curve chiuse forse, e dico forse, solo una è un cerchio. Inoltre si basa su equazioni stabili. Si prende un’equazione e ci si chiede quali sono i valori che la soddisfano. Il fatto è che la realtà non è così semplice.
Non so se avete un robot da cucina, qualche lettore più attrezzato potrebbe addirittura essere in possesso di un meraviglioso Vorwerk Bimby, uno strumento di altissima precisione, lame levigate ed allineate, motore senza vibrazioni, ingranaggi perfettamente molati. Il Bimby potrebbe essere preso come esempio di un mondo deterministico in miniatura. In base al comune sentire, se io metto due cubi di pongo nel Bimby, uno rosso e uno blu, e voglio impastarli insieme, sarà sufficiente calcolare la posizione esatta dei due blocchi e poi sarà possibile prevedere, ad ogni giro delle lame, il destino dell’amalgama, ossia dove si troverà ogni pezzetto di pongo al giro successivo. Ebbene, il caos dice che ciò non è possibile. E’ vero che siamo in un sistema deterministico (il Bimby), che conosciamo lo stato fisico iniziale (la posizione, forma e dimensione dei due blocchi di partenza), e che per i primi giri di lama le linee di pongo rosso dentro al pongo blu e di pongo blu dentro al rosso cominciano in maniera apparentemente regolare e precisa, e sembra che nulla impedisca che ciò continui per sempre, con una regolarissima miscela in cui è possibile prevedere un mescolamento regolare, continuo, simmetrico, speculare. Ma non è così per molto: già al quinto o sesto giro delle lame con ogni probabilità nascerà il caos. All’inizio compare come una insignificante deviazione in una linea di pongo blu, ma poi diventa presto talmente incontrollabile da perdere ogni simmetria, ogni prevedibilità. Ma non nel senso che non è possibile in teoria sapere al sesto giro cosa succederà, in fondo se il sistema è deterministico si può per ipotesi, ma nel senso che non è possibile trovare un andamento regolare e leggibile dello sviluppo dell’amalgama. Non si può prevedere con regolarità l’andamento del caos.
Provo a ridirlo in maniera diversa: c’è sicuramente un’equazione, per quanto complessa possa essere, che ci permette di dire, in linea teorica, cosa succederà ad ogni giro di lame, in fondo siamo in un sistema deterministico e conosciamo con buona precisione tutte le variabili. Però, rispetto alle soluzioni di un’equazione lineare, qui c’è qualcosa in più. C’è l’iterazione. Ad ogni giro, lo stato fisico del pongo risultato del giro precedente costituisce il punto di partenza del giro successivo. E non è detto che questa seconda situazione di partenza sia così regolare e perfettamente intellegibile come la prima. È qui che nasce il caos, nel senso che una variazione infinitesima (e quando dico infinitesima potrebbe essere anche la vibrazione di un autobus che passa a tre isolati di distanza) dopo una mezza dozzina di giri può prendere una strada del tutto imprevedibile e crescere in maniera esponenziale. La dinamica è così complessa, così sensibile alle micro condizioni iniziali da apparire casuale. Oppure al contrario, può andare tutto come previsto e liscio come l'olio, con volute regolari e periodiche, onde perfette di rosso e blu. Ordine e caos diventano due manifestazioni distinte del determinismo sottostante.

Questo fenomeno apparentemente strano è più reale e conosciuto di quanto pensiamo: utilizziamo infatti equazioni lineari per i sistemi poco complessi (sistemi fisici chiusi, passaggi matematici, semplici reazioni chimiche), ma dobbiamo ricorrere alla statistica per quelli più complessi come i fenomeni sociali, la crescita demografica, lo sviluppo economico, il movimento dei gas, gli ecosistemi. Lo facciamo proprio perché si tratta di sistemi sì deterministici, ma sicuramente non lineari e con all'interno vari cicli di retroazione, o feedback, quindi molto instabili e dinamici, in due parole complessi e caotici. L'unico modo per prevedere i risultati di un'azione di politica economica o di prevedere il movimento di una molecola in un gas è ricorrere a strumenti statistici.

Questa cosa si può spiegare anche matematicamente, tramite la funzione logistica. Non è altro che una semplicissima equazione di secondo grado (assomiglia a quella della parabola che si studia al liceo) solo che al posto di disegnarla per i valori che la soddisfano, proviamo ad iterarla. In poche parole si calcola il valore e lo si inserisce di nuovo nell’equazione di partenza, e poi si calcola il risultato e lo si riutilizza, in una sorta di flusso circolare, di anello retroattivo (non vi ricorda in qualche modo Gödel?). Poi si studia l’andamento dei risultati ottenuti e si analizzano gli intervalli in cui i risultati sono caotici. In pratica ci costruiamo un piccolo esperimento per ricreare il caos in casa, sotto condizioni ben determinate e quindi isolabili ed analizzabili, fino a spiegare come sia possibile che un battito di ali di farfalla a Tokio possa causare un uragano a Rio, ma senza sporcare per terra. Meraviglia di un esperimento controllato.
Ci ho provato in prima persona a fare questa cosa, e in effetti è stato semplice, a dimostrazione che il caos è dovunque: si è trattato solo di impostare una formula in excel e disegnare un paio di grafici. La cosa mi ha dato godimento e meraviglia e vorrei riproporvela per discuterne i risultati in uno dei prossimi post (chissà quando).
Per ora vi mollo, andate pure a scrostare il pongo dal Bimby, che se si secca so’ problemi.