Test: sei realista o costruttivista?

Una delle classiche e mai risolte dispute della filosofia matematica è quella tra approccio realista e approccio costruttivista.
Ora, capisco benissimo che un post che inizia così può sembrare perlomeno poco interessante, ma vi chiedo di resistere ancora per qualche riga e di trattenere per quanto vi riesce i conati, potrete insultarmi con comodo tra qualche istante nell'apposito spazio riservato ai commenti. Cercherò di essere breve ed indolore.

Se volessimo ridurre la tenzone ad un concetto base (e lo vogliamo sicuramente fare) potremmo dire che per i realisti gli oggetti matematici hanno una propria verità indipendente dalla loro dimostrazione, mentre i costruttivisti accettano come veri solo gli oggetti che sono stati dimostrati. Ad esempio, prendiamo l'Ultimo Teorema di Fermat, che fino a qualche anno fa era considerato una semplice congettura, visto che non era ancora stato dimostrato. Ebbene, il costruttivista dice che è diventato vero solo dal momento in cui é stato dimostrato, mentre il realista dice che era vero anche prima, è sempre stato vero, solo che non disponevamo ancora della prova.

Quella cosa della caverna,
che torna sempre utile

E' per questo che i realisti sono definiti anche platonisti, perchè teorizzano la realta degli enti matematici indipendentemente dalla nostra conoscenza di essi, come se fossero comunque veri (o non veri) in un mondo ideale, il mondo matematico: a noi tocca solo scoprirli. Secondo la logica costruttivista invece, la matematica è un prodotto umano, e fino a quando non si è deciso che un costrutto è vero tramite dimostrazione, ebbene questo costrutto non è né vero né non vero, è semplicemente indecidibile, è in attesa.

Pare una cosetta da poco, un pippone teorico, ma nasconde alcuni risvolti pratici non indifferenti. Il principale è che i realisti accettano il "principio del terzo escluso" (tertium non datur). Per loro un oggetto può essere o vero o falso: se è vero, allora non è falso; se è falso, allora non è vero. Non ci sono altre possibilità, nessuna scappatoia, nessuna via di fuga. I costruttivisti rifiutano il "principio del terzo escluso" (quindi non escludono il terzo e lo accettano) e affermano che fino a quando non è deciso tramite dimostrazione che un oggetto è vero o falso, beh, allora non è nè vero nè falso.
Vi riporto un esempio molto elegante (1) che fa comprendere come questa disputa che potrebbe sembrare solo teorica ha invece effetti nell'intero modo di sviluppare un sistema completo di dimostrazioni e teoremi, e quindi di verità matematiche (2).

  

Per il realista questa roba qui sopra è valida: la premessa è accettabile,〖(√2)〗^√2 può essere razionale o irrazionale, i casi sono due, non ci sono altre possibilità. La dimostrazione li analizza entrambi e per entrambi trova un esempio di numero razionale costruito come x^y.

Per il costruttivista la dimostrazione non funziona affatto, ed è proprio la premessa a non essere corretta, non è vero che〖(√2)〗^√2  "può essere solo o razionale o irrazionale". Non è nessuno dei due se non l'hai prima dimostrato. E' indecidibile. Il costruttivista dice: caro realista, non fare chiacchiere sulle ipotesi, dimostrami che 〖(√2)〗^√2 è razionale o irrazionale, allora ti crederò. Se la mettiamo su questo piano, l'intera dimostrazione crolla, e per un costruttivista rimane il dubbio se esistono numeri irrazionali x e y tali che x^y è razionale.

L'approccio realista è sicuramente più potente, ha nel principio del terzo escluso un'arma in più. Ma siamo sicuri che sia corretto?
(E io che vado raccontando alle mie figlie che la matematica è bella perché è uguale per tutti...)

Ah, dimenticavo: possono partire gli insulti.

Note: 

1. Che poi questa dimostrazione che esistono numeri irrazionali x e y tali che x^y è razionale, mi apre uno spiraglio per la comprensione dell'identità di Eulero di cui ho parlato qualche settimana fa, mi fa intuire che e^(Pi) può diventare razionale, e che tutti quei decimali possono davvero sparire come d'incanto.
2. Per questioni tecniche, al fine di rendere visibili i simboli, ho dovuto riportare la dimostrazione incollando un'immagine. Se avete problemi di visualizzazione riporto qui la stessa dimostrazione con i simboli che il layout di blogger accetta:

Tesi: esistono numeri irrazionali x e y tali che x^y è razionale.

Dimostrazione: Premessa: 〖(√2)〗^√2 può essere razionale o irrazionale.

Se 〖(√2)〗^√2 è razionale allora, ponendo x=y=√2 abbiamo trovato un esempio che dimostra la tesi.

Se 〖(√2)〗^√2 è irrazionale, ponendo x〖=(√2)〗^√2 e y=√2 si ottiene che x^y è 〖(√2)〗^(〖(√(2))〗^√2 )=〖(√2)〗^((√2×√2)) = 〖(√2)〗^2=2; essendo 2 razionale abbiamo trovato un esempio che dimostra la tesi.

Riferimento bibliografico: Richard Bornat, Proof and Disproof in Formal Logic (Oxford Texts in Logic)