Godel #6 - Un raffinato mentitore

Ripassato il paradosso del mentitore? No? Cinque meno meno e prurito ai genitali vi colga. Ve lo rispolvero io. La prima versione si dice risalga ad Epimenide, il cretese che diceva che tutti i cretesi mentono. Una versione moderna e semplificata al massimo potrebbe essere un tizio che dice: "sto mentendo". Ebbene, il paradosso sta nel fatto che se dice la verità significa che sta mentendo, se sta mentendo dice la verità.
Con la formula G di Godel succede più o meno lo stesso. La G dice "non sono dimostrabile". Se quindi G fosse dimostrabile, allora la negazione di G sarebbe dimostrabile e direbbe "non è vero che non sono dimostrabile" e quindi sarebbe negata la G. Se invece la negazione di G fosse dimostrabile, allora G sarebbe dimostrabile, e direbbe "non sono dimostrabile". Se G allora ~G, se ~G allora G.
Quindi su G non si può dire nulla, nè che è dimostrabile nè che è dimostrabile la sua negazione. La proposizione G di Godel è indecidibile.
Solita regola per ottenere l'eureka: rileggere con calma.

Certo che se la questione si fermasse qui la dimostrazione di Godel con la quale ho ammorbato la mia ormai sconfinata platea per giorni sarebbe un po' deludente... Solo una nuova versione del paradosso del mentitore, non ce lo potevi dire prima? Ci saremmo risparmiati vari ematomi alle gonadi e avremmo avuto più tempo per scaccolarci.
Ma qui c'è qualcosa in più rispetto al classico paradosso del mentitore. La G di Godel è una proposizione vera.
È un teorema matematico vero che non può essere nè dimostrato nè negato con gli assiomi della matematica. Una verità indecidibile.I tre passaggi che dimostrano che la G è vera sono in fin dei conti semplici:
- la proposizione metamatematica "la formula G non è dimostrabile" abbiamo dimostrato che è vera (la abbiamo costruita proprio così)
- la proposizione G è rappresentata dalla stessa G, esattamente come la frase di Quine: G dice proprio questo: "la formula G non è dimostrabile" - ad una proposizione metamatematica vera corrisponde una formula matematica vera.
Questo ultimo punto lo abbiamo presupposto (ormai parlo al plurale come il papa, fermatemi) sin dall'inizio: la metamatematica di Godel e la sua numerazione non sono altro che una simbolizzazione della matematica, non abbiamo fatto altro che abbinare una numerazione alle espressioni matematiche che abbiamo costruito man mano, e abbiamo costruito sempre delle proposizioni vere.
Siamo partiti dicendo  ~Dim(x,z)  ossia abbiamo scritto un qualcosa non dimostrabile, ne esistono a bizzeffe di proposizioni non dimostrabili, che so,  ~($x)(Sx=0)  che sarebbe "non esiste un numero naturale minore di zero", e lo stesso è stato per tutti i passaggi seguenti, tipo  Sost(M, 13, M), che è solo un modo per definire un numero: ripercorrete tutto passo per passo e non troverete nulla che non sia semplicemente un modo diverso di scrivere delle cose vere.
Non abbiamo fatto altro che esprimere teoremi matematici veri, corretti. La numerazione di Godel è stata solo una simbolizzazione di questa matematica vera, quindi è anche essa vera. Abbiamo sempre sostenuto (o comunque se non l'abbiamo fatto lo facciamo ora) che la simbolizzazione della matematica nulla cambia del suo significato intrinseco, se è vero il concetto simboleggiato è vera anche la sua versione trasformata mediante numerazione di Godel.
Questa è la grande innovazione rispetto ad un semplice paradosso logico.Non si tratta solo di una frase indecidibile, ma di una frase indecidibile e vera.

Ricapitolando.
Abbiamo dimostrato che con gli assiomi della matematica è sempre possibile costruire una proposizione indecidibile all'interno della struttura assiomatica ma vera.
Questo significa che la matematica non riuscirà mai a dimostrare alcune particolari verità, quindi che la matematica è incompleta.
Non servirebbe a nulla ampliare gli assiomi per includere anche la G, perchè a questo punto con tali assiomi si potrebbe comunque con lo stesso meccanismo presentato costruire una G(1) che è vera ma indecidibile all'interno del nuovo sistema.

Come abbiamo fatto allora a dimostrare la verità della G se non con la matematica? La particolarità è che la verità della frase non è stabilita con strumenti matematici, con un sistema assiomatico che anzi viene fatto fallire, ma tramite un approccio metamatematico.
E' per questo che alcuni hanno portato ad esempio il teorema di incompletezza per asserire la superiorità dell'intelligenza umana rispetto ai meccanismi automatici della matematica assiomatica e per negare la possibilita dell'intelligenza artificiale. Dicono: se l'uomo riesce a costruire una G vera non utilizzando gli assiomi (i meccanismi base di qualsiasi funzionamento meccanizzabile) ma trascendendo da essi, allora la mente umana è qualcosa di più rispetto a semplici meccanismi automatici.
Io non sono d'accordo, ma questa è una storia che forse approfondiremo in seguito.Notte.

PS: a proposito di frasi ricorsive ho trovato questa cosa di Emo Philips: "Non sono un fatalista; ma anche se lo fossi, che cosa potrei farci?".
Non capisco se è la frase ad essere ricorsiva (ma no, non lo è) o il comportamento che c'è descritto, voi forse potete aiutarmi. O forse non c'entra proprio niente, ma mi piaceva citarla.

Rinotte.