ZenTwo, ovvero il problema degli infiniti

Una volta imparato a contare possiamo cominciare: 1, 2, 3... e andare avanti aggiungendo ogni volta una unitá in più. Viene perlomeno il sospetto che così facendo si può continuare per parecchio, basta aggiungere sempre uno, è un'applicazione del principio di induzione matematica (ricordate il quinto assioma di Peano?), quello che dice che, se una proprietá è vera per il numero 1, se è ammessa per il numero n e se dimostriamo che è vera per n+1, essa è vera per tutti i numeri. Quindi se 1 è un numero naturale, se n è un numero naturale e se lo è anche n+1, allora basta aggiungere sempre 1 a n e quello che si ottiene risulterà essere sempre un numero naturale. E così via all'infinito. Infinito? E sarebbe? Quanto è infinito? Ad esempio, siamo d'accordo che i numeri interi siano infiniti, ma un sottoinsieme dei numeri naturali, ad esempio, i numeri pari, quanti sono? Metá dei numeri naturali forse? Ma metà di infinito è comunque parecchio. Possiamo provare a contarli, 'sti numeri pari, utilizzando il sistema che abbiamo imparato in ZenOne, e mettere in corrispondenza biunivoca i numeri naturali con quelli pari: 1 con 2, 2 con 4, 3 con 6, ogni numero con il suo doppio, e scoprire quindi che è possibile farlo, e non avanza niente, non c'è nessun bimbo che rimane senza seggiola, quindi i numeri interi e quelli pari sono della stessa quantitá, sono infiniti della stessa classe, quelli bravi, da Cantor in poi, dicono "aleph-zero" per significare una categoria di infinito comparabile a quella dei numeri naturali, quindi numerabile. La stessa cosa avviene con altri sottoinsiemi dei numeri naturali, per esempio i cubi, 1, 8, 27, 64 ecc., sembra che crescano in maniera veloce, anzi lo fanno, con il cubo di 10 siamo giá arrivati a mille, quindi sembrano di meno di tutti i numeri, eppure anche questi si possono mettere in corrispondenza con i numeri naturali, 1 con 1, 2 con 8, 3 con 27, ..., 10 con 1000, 25 con 15625, anche questi sono uguali in cardinalità, anche questi sono aleph-zero. Quindi la cosa strana con un insieme infinito come i numeri naturali è che abbiamo a che fare con un insieme che non è più grande di alcuni suoi sottoinsiemi.
Se usciamo dall'insieme dei naturali e entriamo nei razionali (le frazioni) di fenomeni interessanti ce ne sono altri. Se suddividiamo lo spazio tra due numeri, mettiamo tra 0 e 1, in pezzetti piccolissimi, ci accorgiamo che possiamo averne infiniti di questi pezzettini, 1/2, 1/3, 5/6, 2/45419, e che fra i due pezzettini più vicini che riusciamo ad immaginare ce ne sono altri infiniti. Ma anche i numeri razionali tra 0 e 1 (come del resto tutti i razionali) si possono mettere in relazione con i naturali, anche quelli sono aleph-zero. Ci sono alcuni infiniti che sono più grandi di aleph-zero (di aleph ce ne sono parecchi, zero, uno, due, infiniti aleph) tipo gli irrazionali, ma al momento 'stica.
E qui arriva Zenone con il suo paradosso di Achille e la tartaruga. Il paradosso, come lo ha raccontato Borges, prevede che Achille, simbolo di rapidità, debba raggiungere la tartaruga, simbolo di lentezza. Achille corre dieci volte più svelto della tartaruga e le concede dieci metri di vantaggio. Achille corre quei dieci metri e la tartaruga nel frattempo percorre un metro; Achille percorre quel metro, la tartaruga percorre un decimetro; Achille percorre quel decimetro, la tartaruga percorre un centimetro; Achille percorre quel centimetro, la tartaruga percorre un millimetro; Achille percorre quel millimetro, la tartaruga percorre un decimo di millimetro, e così via all’infinito; di modo che Achille può correre per sempre senza raggiungerla. Di solito il paradosso viene spiegato e risolto con il calcolo infinitesimale, mostrando che ci sono serie di somme che, seppur infinite, sono convergenti; ma possiamo provare a spiegarlo anche con il metodo che abbiamo mostrato prima. Abbiamo visto che ci sono tanti punti in un millimetro quanti in un kilometro, ce ne sono esattamente aleph-zero, e che quindi si possono mettere in relazione tra loro, senza che ciò significhi che le distanze di cui si tratta debbano essere le stesse... pensateci con calma seduti al cesso...
Non vi pare che questo risolva il paradosso?