Godel #2 - Contesto

Le discipline scientifiche si suddividono in due grosse famiglie. Quelle cosidette sperimentali hanno come obiettivo di spiegare la realtà, si basano sulle osservazioni e sulle sperimentazioni, ossia su test di coerenza con ciò che succede davvero. Hanno ragione di esistere solo quando spiegano il mondo che ci circonda in modo soddifìsfacente, si sorreggono esclusivamente sulle prove e quando incontrano una singola evidenza contraria sono pronte ad essere sovvertite dalle fondamenta; a queste appartengono la fisica, la biologia, la chimica, l'astronomia. Di queste mi fido.
Altre scienze sono invece di tipo deduttivo, ossia si basano su un sistema di assiomi definiti all'inizio che si ritengono veri o perlomeno rappresentativi di un sistema coerente e su questi assiomi poi, attraverso un complesso sistema di deduzioni e passaggi logici (le dimostrazioni), sviluppano teoremi, corollari, conclusioni generali. Nei casi estremi non c'è alcun bisogno che gli assioni rappresentino qualcosa di vero, e il mestiere dello scienziato è quello di essere coerente nelle dimostrazioni, non di dimostrare necessariamente la verità (come succede nel formalismo). Di questo gruppo fanno parte la geometria, la matematica, la logica, alcuni aspetti della filosofia e della metafisica. Di queste vediamo se ci si può fidare.

La regina delle discipline deduttive è la matematica. I vari rami della matematica si basano su una manciata di pochi assiomi e creano un mondo astratto e internamente coerente (anche se a volte, anzi spesso, si è visto coincidere con i più svariati aspetti del mondo reale. Ad esempio una cosa così strana e a prima vista inconsistente come la serie di Fibonacci si trova pari pari applicata nella crescita delle pigne, ma questa è un'altra storia...)
Nel seguito limiteremo la nostra attenzione, per semplicità, alla sola teoria dei numeri (la cosidetta aritmetica, ossia la matematica dell'insieme dei numeri interi, 0, 1, 2, 3, 4....) che ammette solo le operazioni di addizione (se sommiamo due numeri interi otteniamo sempre e solo un numero intero) e moltiplicazione (idem). Escludiamo la sottrazione (che porterebbe a volte come risultato dei numeri negativi, che orrore!) e la divisione (che avrebbe, udite udite, come risultato delle frazioni o numeri razionali, ma noi, per ora e per sempre, li aborriamo). Quindi ci limitiamo a roba da prima elementare.
All'inizio del ventesimo secolo si è cercato di rendere quanto più possibile blindato e coerente il mondo dei numeri interi, studiando un insieme di postulati o assiomi auto-evidenti e dai quali si potessero tirare fuori tutti i teoremi di aritmetica, dalla somma di due numeri al teorema di Fermat.
Il matematico italiano (esistono anche loro) Giuseppe Peano tentò la formalizzazione dell'aritmetica con la formulazione di cinque assiomi di base dai quali derivare tutta la teoria dei numeri naturali. E' carino saperli, anche perchè definiscono il minimo insieme (appunto l'insieme dei numeri naturali) per il quale è applicabile il teorema di incompletezza di Godel al quale prima o poi arriverò:

1. Esiste un numero naturale, 0 (zero)
2. Ogni numero naturale ha un numero naturale successore (nel seguito lo chiameremo S)
3. Numeri diversi hanno successori diversi
4. 0 non è il successore di alcun numero naturale
5. Ogni insieme di numeri naturali che contenga lo zero e il successore di ogni proprio elemento coincide con l'intero insieme dei numeri naturali (assioma dell'induzione)

Il matematico tedesco David Hilbert, il più forte dei suoi tempi, propose negli anni venti una sfida (il programma di Hilbert) con il quale richiedeva una dimostrazione di coerenza interna ai sistemi assiomatici come l'aritmetica di Peano (o come quella definita da Russel e Whitehead nei Principia Mathematica, un po' più complessa e di moda all'epoca ma più o meno dello stesso tipo). Coerenza interna significa che all'interno del sistema non dovevano esserci contraddizioni (non si doveva poter dimostrare che (0=0) e contemporaneamente ~(0=0), dove ~ è il simbolo di negazione).
E' qui che, dopo svariate righe di assenza, arriva il nostro caro Godel che, in un articolo del 1931 dimostrò non solo l'impossibilità della prova della coerenza interna in un sistema assiomatico, ma anche, e peggio, l'esistenza, all'interno di un sistema assiomatico come l'aritmetica, di una formula vera ma non dimostrabile nè confutabile con le regole del sistema stesso. Quest'ultima roba praticamente significa che in aritmetica esistono delle congetture vere che non potranno mai essere dimostrate.
E' qui che mi sono sempre chiesto: ok, mi fai un esempio? e l'esempio nelle varie cose che ho letto non me lo fanno mai, e io non essendo come Flaiano senza esempio non capisco. Ma poi ho scoperto che di esempi in teoria dei numeri ne esistono a bizzeffe; uno dei più citati è la mitica congettura di Goldbach, secondo la quale ogni numero pari maggiore di 2 può essere scritto come somma di due numeri primi (lo stesso numero primo può essere usato due volte). Sono oltre due secoli che le migliori menti cercano di dimostrarlo ma non ci riescono, eppure empiricamente la congettura regge ad ogni tipo di sperimentazione anche con i più potenti computer, che hanno calcolato che è valida perlomeno fino a 16 · 10¹⁷Questa potrebbe essere una formula di Godel, vera ma non dimostrabile nè confutabile.
Come primo post mi pare abbastanza, ora potere pure raccogliere da terra i coglioni e passare sul vostro sito porno preferito intanto che preparo il prossimo.