Godel #5.1 - primo passaggio

Troppa fretta. E' sempre stato uno dei miei problemi. E per dimostrarvi la mia capacità di autocritica vi autorizzo anche a facili battute a sfondo sessuale.
Da quello che ho capito dai feedback scritti e orali ricevuti, fino al post #4 era tutto più o meno chiaro. Il #5 è stato invece il fallimento totale. Facile capire che il problema è il #5, pertanto riprenderò da quello e seguendo il consiglio di buona parte dei miei lettori dedicherò un post ad ogni passo logico.

Spero che almeno la pianificazione del lavoro che apriva il post fosse sufficientemente comprensibile.
Con la codificazione numerica descritta nel #3 abbiamo solo introdotto il linguaggio che Godel intende utilizzare nella sua dimostrazione.
Ora con questo linguaggio dobbiamo:
a. costruire una formula che dice di se stessa: "io non sono dimostrabile"
b. dimostrare che questa formula è in effetti indecidibile (nè dimostrabile nè negabile)
c. dimostrare che, pur essendo indecidibile con gli assiomi del sistema di riferimento, è tuttavia vera.

L'obiettivo a. si suddivide nei tre passaggi che avevo sconsideratamente compresso nel precedente post, ma ora mi sono ricreduto, quindi analizziamo qui solo il primo passaggio, che riguarda la relazione tra una dimostrazione e la sua conclusione. Partiamo dall'esempio di dimostrazione che avevamo fatto in precedenza (attenzione, comunicazione agli utenti, la mia adorata ma un po' birichina Sallustia interpreta la E rovesciata che ho tentato di scrivere come simbolo di esistenza con un simbolo di dollaro $: se voi fino ad ora avete visto la E rovesciata bene, ma da ora in poi il $ significa "esiste").

1)                             ($x)(x=Sy)
2)                             ($x)(x=S0)

La dimostrazione qui sopra significa semplicemente che esiste un x tale che x è un immediato successore di y, quindi, per y=0, esiste un successore immediato del numero zero, quindi esiste il numero 1. A parte il significato della dimostrazione, che non è fondamentale per quanto segue, avevamo visto che il numero di Godel della 1) era M e che quello della 2) era N. In base alle notazioni condivise l'intera dimostrazione aveva come numero di Godel                          
K=2^M x 3^N
Questo è un numero stratosferico, perchè i numeri di Godel dei singoli passaggi della dimostrazione, che sono già enormi, compaiono come esponenti dei primi due numeri primi, 2 e 3. Per quanto grande possa essere, la formula qui sopra mette in relazione K (il numero di Godel dell'intera dimostrazione) e N (il numero di Godel della sua conclusione). Facciamo un esempio ancora più semplice. Nel #3 avevamo detto che ($x)(x=Sy) aveva numero di Godel
M=2^8 x 3^4 x 5^11 x 7^9 x 11^8 x 13^11 x 17^5 x 19^7 x 23^13 x 29^9
Questo significa che esiste una relazione tra l'intero numero M e, ad esempio, la sua ultima parte 29^9 (nel caso specifico 29^9 è un divisore dell'intero numero M). Allo stesso modo esiste una relazione tra K e N in K=2^M x 3^N. Per chi ricorda qualcosa delle funzioni algebriche del liceo è come se dicessimo che K è in funzione di N, ossia K=f(N). Però per ricordarci che K è l'intera dimostrazione e N è la sua conclusione, al posto di K=f(N) scriviamo Dim(K,N) (abbreviazione di "K" è la dimostrazione di "N"), che vuol dire che esiste una relazione tra K ed N: se la relazione esiste significa che il super numero K ha in qualche modo dentro di se il numero N, e se ciò è vero vuol dire che la dimostrazione K ha dentro di se il passaggio N e che quindi N è la conclusione (o addirittura un passaggio intermedio, che è lo stesso) di K.
Dim(K,N) significa metamatematicamente “la sequenza di formule con numero di godel K è una dimostrazione della formula con numero N".

Se la tale relazione metamatematica non esiste, quindi se N non è in relazione con K, e quindi se N non è la formula conclusiva del processo di dimostrazione identificato con K, allora possiamo scrivere ~Dim(K,N).  In quest'ultimo caso preferisco scegliere lettere diverse da Ke N perchè nel nostro esempio K è davvero una dimostrazione di N, quindi per non fare confusione cambierò le lettere in x e z per simboleggiare un altro processo di dimostrazione e un'altra conclusione non in relazione tra loro: scriverò pertanto

~Dim(x,z)

Abbiamo concluso che ~Dim(x,z) significa “la sequenza di formule con numero di Godel x non è una dimostrazione della formula con numero di Godel z”.
E questo è il primo passaggio.
E' più chiaro? Attendo almeno un paio di feedback tipo "eureka", altrimenti non proseguo oltre.