venerdì 15 aprile 2011

ZenThree, ovvero come misurare

Abbiamo capito qualche giorno fa, ed esclusivamente grazie a questo blog, come si conta. Poi abbiamo imparato a contare fino ad infinito. Ora che sappiamo maneggiarli, con questi numeri cerchiamo di farci qualcosa di più concreto; per esempio potremmo misurare qualcosa.
E' quello che si è fatto con i numeri dall'alba dei tempi: dopo il semplice atto di contare degli oggetti distinti (di solito le mele) si è cercato di sfruttarne le potenzialità per misurare qualunque cosa fosse a portata di mano, la capacità di un recipiente, l'area di un campo, la larghezza di un fiume, la lunghezza di un organo genitale. Se non fossero stati adatti a misurare, probabilmente alla fine i numeri non sarebbero durati un gran che come concetto.
E allora vediamo se i numeri più semplici, quelli naturali (1, 2, 3, ecc.), sono adatti a questo scopo. Si potrebbe di primo acchitto pensare di sì, voglio dire, potremmo stabilire una unità di misura non troppo grande, ad esempio un metro, e misurare con quello e con i suoi multipli interi quello che ci pare. Per un campo ok, per un fiume pure, ma per l'organo dovremmo utilizzare qualcosa di più piccolo, almeno se prendo a spunto la mia esperienza. Beh, per misurare le cose più piccole possiamo usare le parti di un metro, ossia le sue frazioni: mezzo metro, un decimetro, un centimetro, o addirittura un milionesimo di metro. Ma sì, pergiove, posso scegliere la frazione che voglio, e con quella riuscirò a misurare in maniera esatta proprio tutto!!!
Quando i pitagorici si accorserò che le cose non stavano così, letteralmente sbroccarono. Come è possibile che per quanto sia piccola la frazione di una qualsiasi unità di misura che prendo in considerazione, ci sono cose che non riesco a misurare?
Ad esempio prendiamo una figura semplicissima, un quadrato con il lato di un metro. Se ne volessi misurare la diagonale mi accorgerei che un metro è poco, ma che due sono troppo; quindi faccio delle frazioni, prendo i centimetri e mi accorgo che 141 centimetri sono pochi e che 142 sono troppi; allora prendo i millimetri, ma 1414 sono pochi e 1415 troppi, allora mi incazzo e prendo i miliardesimi di metro ma 1414213562 sono pochi, 1414213563 troppi, e mi viene da piangere. E' proprio quello che fecero i pitagorici quando si accorsero che per quanto avessere preso frazioni minuscole non sarebbero mai riusciti a misurare una semplice diagonale di un semplice fottutissimo quadrato.
All'inizio pensandoci stavo sbroccando anch'io, ho anche pensato che l'inghippo dipendesse dal sistema decimale; mi dicevo, beh, se lo scriviamo in sistema binario o esadecimale risolviamo la questione, poi mi sono imbattuto nella dimostrazione matematica qui sotto che come molte dimostrazioni ha di bello che è indipendente dalla notazione che usi, parla di costanti e variabili e rapporti tra di loro, e come Montalbano mi sono fatto persuaso.
Ad esempio.
Prendiamo il problema del quadrato. Abbiamo studiato a scuola che se un quadrato ha un metro di lato, la sua diagonale è facilissima da calcolare, grazie al teorema del capostipite degli sbroccati, ed è semplicemente la radice quadrata di due, ossia quel numero che elevato al quadrato da 2 come risultato.
Ma c'è questa semplice dimostrazione che dice che la radice quadrata di 2 (che indichiamo come \sqrt{2}, ora faccio anche i simboli in maniera più umana, tiè) è un numero irrazionale, che significa non esprimibile tramite una frazione, un rapporto di due numeri interi.
La dimostrazione è molto bella, nel senso che se esiste un concetto di bello assoluto al mondo credo che questa cosa ci si avvicini parecchio, allo stesso livello con il clavicembalo ben temperato di Bach e con la notte stellata di Van Gogh.
Fa più o meno così: s
i supponga che \sqrt{2} sia razionale, ovvero che sia possibile esprimerlo sotto forma di rapporto tra due numeri interi m ed n, ossia la frazione m \over n, già ridotta ai minimi termini.
Quindi  {m \over n}= \sqrt{2}.
Se eleviamo entrambi i membri al quadrato otteniamo {m^2 \over n^2}=2

ovvero  m2 = 2n2
Il termine 2n2 è pari (perchè è un numero moltiplicato per 2), pertanto anche m2 è pari, e conseguentemente m stesso dev'essere pari (il quadrato di un numero dispari è sempre dispari), quindi esiste un opportuno k tale per cui m = 2k. Sostituendo, si ottiene:
2n2 = (2k)2
che, sviluppando il quadrato e semplificando, diventa
n2 = 2k2
Con identico ragionamento, essendo ora 2k2 pari si deduce che anche n2, e quindi n stesso, siano a loro volta pari.
Sia m che n risultano pertanto essere pari, il che contraddice l'ipotesi iniziale che {m \over n} sia irriducibile: se ne conclude che \sqrt {2} non è esprimibile sotto forma di frazione, e che quindi la nostra ipotesi iniziale è falsa. Dunque abbiamo dimostrato l'opposto, cioè che \sqrt{2} è irrazionale.
Tutta questa cosa significa che il numero \sqrt{2} non si potrà mai esprimere come rapporto tra due numeri interi, indipendentemente dal sistema numerico che utilizziamo per scriverlo.
La conseguenza notevole, quella che sconvolse i pitagorici, è che, oltre ai numeri razionali, che sono infiniti, esistono altri infiniti numeri irrazionali completamente diversi dai razionali.
Un infinito dentro ad un altro infinito.
Mi pare sufficiente per un post.

3 commenti:

  1. Anonimo11/11/11

    Commenti:
    #1 15 Aprile 2011 - 22:40

    Sufficiente sicuramente, e anche davvero bello. Sei sprecato nel mondo reale, dovresti vivere solo nel blog in forma di tacchino. Ma mi pare che qualcosa del genere te l'avessero già scritta giorni fà. Pdb
    utente anonimo
    #2 16 Aprile 2011 - 07:24

    Non ne sono sicuro ma credo ti sia perso una serie di ben 7 (sette!) commenti di lettori vari alle zanzare e all'effetto serra, in alcuni dei quali venivi chiamato direttamente in causa. Immagino tu debba dare perlomeno un benvenuto... Quanto a me comincerò a fare una lista dei pro e dei contro l'abbandono della vita reale a favore di una esclusivamente virtuale. Vi terrò informati sui risultati.
    aaqui
    #3 16 Aprile 2011 - 11:20

    Tu dovevi fare l'insegnante....già le vedo tutte le alunne innamorate di te !! e.
    utente anonimo
    #4 16 Aprile 2011 - 13:50

    Ehmmm.
    Non riesco a commentare in questo blog senza farmi precedere da un Ehm.
    Ho letto con attenzione e ho immaginato un prof di fronte ad una vecchia lavagna nera con una lunga bacchetta indicare i vari passaggi del ragionamento.
    Ho molto apprezzato l'accostamento di questa "bellezza" alla bellezza dell'arte di Bach e di Van Gogh sebbene non l'abbia condivisa emotivamente ma ci ho provato.
    Inoltre trovo affascinante che i numeri possano essere razionali ed irrazionali esattamente come gli esseri umani.
    quindi lo sono perchè gli esseri umani gli attribuiscono queste caratteristiche specificatamente umane?
    sono stata prolissa, credo...
    rigorosamenterosso
    #5 16 Aprile 2011 - 14:33

    @ rigorosamenterosso L'immagine del professore non rende merito alla categoria dei professori, quella della vecchia lavagna non lo rende a sallustia, la mia seppur vecchia ipad. Tuttavia il commento merita una riflessione. Credo si chiamino irrazionali per contrapporli ai razionali, ossia a quelli che si possono esprimere con frazioni o rapporti ( il vecchio professore direbbe "dal latino ratio, ossia rapporto" e poi pulirebbe il monocolo con l'angolo del fazzoletto ricamato). Io preferisco però pensare che si chiamino irrazionali perchè la ragione (almeno la mia) non sopporta che un numero non si possa esprimere in maniera precisa tramite un'unità di misura e le sue frazioni. Riguardo alle persone ti posso dire che ne conosco alcune irrazionali, altre un po' meno, ma che per fortuna non sono infinite.
    aaqui
    #6 16 Aprile 2011 - 14:48

    ehhmmm.La ragione ha dunque un suo limite intrinseco.
    ....per fortuna non sono infinite nel senso che prima o dopo schioderanno dal mondo? si, questo è molto confortante, l'infinito è qualcosa che la nostra ragione non sopporta...
    rigorosamenterosso

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  2. Anonimo11/11/11

    #7 16 Aprile 2011 - 22:17

    Ho notato, Tacchino, ho notato. Ho visto aghes bacchettarti(ci?) sulla questione della fusione delle calotte polari, in una maniera devo dire non del tutto convincente o espressa forse con un livello di chiarezza inferiore a quello a cui mi hai abituato... Ma comunque chiaramente gli do anche il mio benvenuto, anche se credo che qui sull'aia gli onori di casa spettino tutti a te. Ho appreso poi con rinnovato stupore che sei riuscito ad attrarre l'attenzione persino di una donna. E, a questo proposito, ti confesserò che io stesso ci ho perso il sonno chiedendomi: dove punterà l'altro occhio indagatore di Rigorosamenterosso?
    utente anonimo
    #8 17 Aprile 2011 - 09:17

    E' proprio per superare queste rotture di ... (rotture filosoficamente più che affascinanti, ma pur sempre rotture nella pratica) che nel mondo reale è stato introdotto il concetto di "tolleranza dimensionale".
    La tolleranza (t) è il massimo scarto dimensionale ammissibile di una lunghezza e il suo valore è stabilito dalla differenza tra la dimensione massima e la dimensione minima ammissibili.

    t = Lmax– Lmin

    Definire una certa zona di tolleranza significa stabilire i valori degli scostamenti delle dimensioni estreme dalla dimensione nominale (teorica):
    Si hanno quindi uno scostamento superiore (differenza tra la dimensione massima ammissibile e la dimensione nominale assunta come linea dello zero) ed uno scostamento inferiore (differenza tra la dimensione minima ammissibile e quella nominale).
    Per tornare al tuo esempio, se da calcoli progettuali risulta che un pezzo deve essere lungo proprio , allora è accettabile che esso abbia una dimensione non inferiore a 1,414 e non superiore a 1,415.

    Aghes


    utente anonimo
    #9 17 Aprile 2011 - 10:26

    Hey, ma questa è mera approssimazione ingegneristica! Non vale! Dietro la definizione apparentemente precisa che dai si nasconde una ignobile resa all'impasse della logica, siccome non riusciamo a capire il funzionamento della cosa cambiamo le regole e le rendiamo più lasche, applichiamo il processo breve, così è troppo facile. Ti ringrazio ovviamente per il contributo, ma ti confesso che quando non mi basteranno i miliardesimi di millimetro per misurare la radice di due l'amaro in bocca unito allo stupore mi rimarrà. E lo gusterò con piacere.
    aaqui

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  3. Anonimo11/11/11

    #10 17 Aprile 2011 - 21:36

    Buongustaio! Pdb
    utente anonimo
    #11 18 Aprile 2011 - 07:53

    Ehm...dispute tra accademici...hi hi!
    Signor PdB, l'altro occhio punta senz'altro all'obiettivo fotografico, in discreta armonia con il compagno lì sulla destra.
    Tuttavia l'interrogativo, sottile e niente affatto scontato, non merita una sola ora del suo sonno.
    Infine, grazie per la definizione di "indagatore".
    Buona giornata a tutti voi!

    rigorosamenterosso
    #12 19 Aprile 2011 - 22:17

    la cosa si fa seria. vi lascio per una settimana (in cui evidentemente sono stato il solo a produrre PIL a tempo pieno per questo dannato paese) e vi ritrovo assorbiti in dissertazioni sempre più strambe.
    bello il pezzo delle zanzare (ci stai pensando dalla scorsa estate ad otranto, confessa! allorquando tra le poche espressioni che pronunciavi fra infiniti silenzi spuntava spesso un: 'cazzo servono 'ste zanzare di merda?...
    bellissimo quest'ultimo sulla dimostrazione dell'esistenza dei numeri irrazionali come negazione del fatto che siano anch'essi razionali: devo ammettere che hai un certo talento nel descrivere certi passaggi. mentre ti leggevo riemergevano nella soffitta polverosa e piena di ragnatele della mia mente i ricordi di quei passaggi logici ed è stata una bella sensazione. non so se posso permettermi, però vorrei unirmi al coro (in realtà solo uno, ora che ci penso) dei benvenuto a rigorosamenterosso, però contestualmente vorrei segnalare ad aaqui che mi sembra evidente che abbia accusato il colpo dell'effetto arrossimento... i commenti e le descrizioni ne risentono... non ho ancora deciso se in meglio o in peggio... ve lo faccio sapere tra una mesata, più o meno.
    byeee, sdf

    ps scusate, non scrivo mai e quando lo faccio sono logorroico.....
    utente anonimo
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